用不等式解相等问题

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1、用不等式解相等问题江苏省泰州市朱庄中学曹开清225300一、利用非负数的性质例1已知实数a、x、y满足

2、x＋3

3、＝1－a，＝(a－1)(a2－a＋1)，求x＋y＋a的值．解析：由已知条件得＋(a2－a＋1)

4、x＋3

5、＝0．∵a2－a＋1＝，∴(a2－a＋1)

6、x＋3

7、≥0．又≥0由非负数的性质得，y－2＝0，x＋3＝0，解得y＝2，x＝－3，a＝1．∴x＋y＋a＝0．例2已知抛物线y＝x2＋2x＋b2经过点(a，－1)和(－a，k)，求k的值．解析：把x＝a，y＝－1代入y＝x2＋2x＋b2，得－1＝a2＋2a＋b

8、2，整理配方得，(a＋1)2＋b2＝0，由非负数的性质得，a＝－1，b＝0，∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x．把x＝－a＝1，y＝k代入y＝x2＋2x，得，k＝3．例3已知实数a、b满足，求的值．解析：由二次根式有意义的条件，得　b＋3≥0，∴b＋4>0，∴≥0．又≥0，由非负数的性质，得，第6页共6页解得，b＝－3，∴．二、利用一元二次方程根的判别式例4求满足的实数x、y．解析：去分母，整理得，∵x、y是实数，∴△＝4(1－y2)－4≥0，即－4y2≥0，∴y＝0，代人得x＝－1．例5求方程x2＋2xy＋3y2－

9、2x＋y＋1＝0的整数解．解析：原方程可化为关于x的一元一次方程x2＋2(y－1)x＋(3y2＋y＋1)＝0．∵x、y是实数，∴△＝4(y－1)2－4(3y2＋y＋1)≥0，化简整理，得4y(2y＋3)≤0，解得．∵y是整数，∴y＝－1或0．分别代人以上方程，得，，．例6已知△ABC的边AB、AC恰好是方程x2－6x＋(BC2－4BC＋13)＝0的两个实数根，求△ABC的周长．解析：根据题意得，△≥0，即(－6)2－4(BC2－4BC＋13)≥0，化简整理得，－4(BC－2)2≥0，即(BC－2)2≤0．又∵(BC

10、－2)2≥0，∴(BC－2)2＝0．∴△＝0，BC＝2，解得AB＝AC＝3．故△ABC的周长为8．第6页共6页三、利用变量的取值范围例7求满足的实数x、y．解析：由二次根式有意义的条件，得，∴，解得x＝±5．再由分式有意义的条件，得x≠5，∴x＝－5，y＝１．例8设a、x、y为互不相等的实数，且，求的值．解析：由实数a、x、y互不相等及二次根式有意义的条件，得，，∴a≥0，且a≤0，∴a＝0代人得，即x＝－y．∴原式＝例9解方程：．解析：由二次根式有意义的条件，得，即，第6页共6页∴(x＋9)(x―7)＝0，解得x

11、＝―9，或x＝7．经检验，x＝―9是原方程的根，x＝7是增根．四、利用不等式等号成立的条件例10求满足(x2＋4x＋6)(y2＋1)＝2的实数x、y．解析：∵x2＋4x＋6＝(x＋2)2＋2≥2，y2＋1≥1，∴(x2＋4x＋6)(y2＋1)≥2，等号当且仅当x2＋4x＋6＝2，y2＋1＝1时成立．解得x＝－2，y＝0．例11求满足的实数x、y．解析：已知条件可化为，∵，，∴，等号当且仅当，时成立．解得x＝－1，y＝2．五、利用不等式放缩法例12求方程的整数解．解析：由，得∵x是整数，∴x＝0，1，2，3，4．易知

12、x是奇数，∴x＝1，3．经检验x＝3是原方程的整数解．例13求方程＋＋＋＝的整数解．解析：显然x>0，第6页共6页∵＜＋＋＋＜，∴＜＜，解得＜x＜．又∵x是整数，∴x＝2，3，4．经检验x＝3是原方程的整数解．六、以上方法联合运用例14若实数x、y、m满足关系式，试确定m的值．解析：由二次根式有意义的条件，得，即，∴x＋y＝2009①将x＋y＝2009代人原方程，得．由非负数的性质，得，两式相加，得5(x＋y)＝2m＋5②由①、②，得m＝5020．例15解方程：．解析：由二次根式有意义的条件，得，解得x2≥25．再

13、由，得x＞0．∴ｘ≥5．第6页共6页∴，且．∴，当且仅当x＝5时取等号．经检验x＝5是原方程的解．第6页共6页