用方程思想解证不等问题

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1、运用方程思想解证不等问题上海复旦二附中崔之骍方程是代数的重要内容，也是重要的数学方法，很多数学问题都可以转化成方程问题来解决．但是方程思想的运用，并非仅限于列方程、或方程组求解，有关方程的所有知识在各类问题中有着广泛的应用．其中一元二次方程根的判别式有其独特的作用，由于它有大于零、等于零、小于零的三种情况，分别决定了方程两实根的相异、相同或不存在，这就使我们能运用这一知识来解决一些与不等相关的问题，如不等式、字母或式子的取值范围、函数的值域、变量的最大值或最小值等．在运用这一知识解证不等关系的问题时，应先建立一

2、元二次方程，然后再运用根的判别式．以下举例说明．一、求实数或代数式的取值范围例1已知实数a、b，满足a2b2+5a2+2ab－5a+1=0，求证b≤.证明将条件等式整理成关于a的一元二次方程(b2+5)a2+(2b-5)a+1=0，∵a为实数，∴Δ=(2b-5)2-4(b2+5)=-20b+5≥0，例2　已知x为实数，试证的值在与之间.∵x为实数，∴Δ=-4k2+8k-3=-(2k-1)(2k-3)≥0，例3已知a，b，c是实数，且abc＝1，a+b+c=0，求证a，b，c中必有一个大于.证明由abc＝1，a+

3、b+c=0，可知a，b，c中有一个为正数，两个为负数，不妨设a为正数．例4实数a，b，c满足a2-bc+5a-2=0，①b2+c2+bc+3a-3＝0，②求a的取值范围．解由条件等式①，得bc=a2+5a－2，③由条件等式②，得(b+c)2=bc－3a+3，④将③式代入④式，得(b+c)2=(a+1)2，∴b+c=±(a+1)，实数根，∴Δ=-3a2－18a+9≥0，二、解证几何问题中的最大值、最小值或不等关系例5如图1，边长为a的正方形MNQR内接于△ABC，MN在BC上，R、Q分别在AB、AC上，AD为高．

4、求证BC+AD≥4a．证明∵RQ∥BC，∴△ARQ∽△ABC．∵AD⊥BC，∴AD⊥RQ，得BC·AD－a(BC+AD)＝0．设BC+AD＝m，则AD=m-BC．∴BC(m-BC)－am＝0，BC2-mBC+am=0．∵BC的长为正实数，∴Δ＝m2-4am＝m(m－4a)≥0，∵m＞0，∴m-4a≥0，∴m≥4a．即BC+AD≥4a．例6半径为1的圆O内切于Rt△ABC，则S△ABC不小于3+2.解如图2，设∠C=90°，三边的长分别为a，b，c，∴a+b＝c+2．∵a2+b2＝c2，(a+b)2-2ab＝c2

5、,∴a，b为一元二次方程x2-(c+2)x+2c+2=0的两实数根，∴Δ=c2－4c－4≥0．例7一块扇形铁片的圆心角为60°，半径为1，要利用此铁片截出面积最大的矩形(扇形的对称轴垂直于矩形的一边)，问最大面积为多少？解如图3，设矩形CDEF内接于扇形OAB，C在OA上，D、E在弧AB上，F在OB上，过O作OG∥DE交DC延长线于G，连结OD．则∠C=90°．∠OCG=30°，DN=GO．设CD＝x，CO＝y，又设矩形CDEF的面积为S，则S=xy，在Rt△OGD中，OG2+DG2=OD2，从以上各例可以看出

6、，运用一元二次方程的知识解决不等关系问题时，一般分成两步，第一步，建立一元二次方程——从相等关系入手．建立方程的方法很多，可以将已知等式中的某一字母作为主元，把原式化成关于该主元的一元二次方程；可以将条件给出的代数式设为某一字母，构成等式，再变化成一元二次方程；可以由已知中所含的两数和、两数积，根据一元二次方程根与系数的关系构造方程；也可以根据题意或几何图形，运用相关知识列出方程等等，方法因题而异．第二步，由方程的根为实数，确定判别式为正或非负，转化为不等关系，再由此推出结果．