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1、精品课程《高等数学》（概率统计部分）电子教案第2章导数与微分【授课对象】理工类专科大一学生【授课时数】学时【授课方法】讲授与提问、随堂练习相结合【基本要求】1、理解导数与微分概念及导数的几何意义和物理意义；2、函数的可导性与连续性之间的关系；3、熟练掌握各种求导方法，特别是复合函数的求导方法；【本章重点】理解导数与微分定义及导数的几何意义和物理意义【本章难点】复合函数的求导方法。【授课内容及学时分配】微分学是微积分的重要组成部分。它的基本概念是导数与微分.导数概念最初是从寻找曲线切线以及确定变速直线运动
2、的瞬间速度而产生的,它是反映函数相对自变量的变化快慢的程度,而微分是伴随导数而产生的概念,是指明当自变量有微小变化时,函数大体上变化多少.本章将首先介绍导数的概念及计算方法,然后介绍人微分的概念,计算方法及应用.第一节导数的概念一、引例1.变速直线运动的瞬时速度我们知道,物体作直线运动时,其位移S是时间t的函数,记作S=S(t).下面求物体在时刻的瞬时速度(图2-1)s0第23页共23页精品课程《高等数学》（概率统计部分）电子教案设自变量t在有一个增量,相应地位移S也有一个增量.因而,物体在到这个时间段
3、内的平均速度为当时间间隔很小时,平均速度是可用来作为物体在时刻的速度的近似值,越小,精度就越高,若趋于0时,平均速度的极限存在,则极极限值就是物体在时刻的瞬时速度.即.1.曲线的切线斜率设点是曲线上一点,当自变量变到时,在曲线上得到另一点,连结A与B得割线AB(图2-2).ABT第23页共23页精品课程《高等数学》（概率统计部分）电子教案由图可看出,割线AB的斜率:其中为割线AB的倾斜角.当B点沿着曲线移动而趋向于A点,此时割线AB的极限位置AT叫做曲线在点A处的切线,设切线AT的倾斜角为.这时,当点B
4、沿曲线趋向于点A(即)时,有,从而有,即以上两个实际问题的讨论,虽然它们的实际意义不同,但解决问题的数学方法是相同的,都是研究函数与自变量的比以及当时的极限,在数学中,我们将极限称为函数的导数.一、导数的定义定义1设函数在点的某一邻域内有定义,若极限存在,则称函数在点处可导,并称此极限值勤为函数在点处的导数,记作.即.第23页共23页精品课程《高等数学》（概率统计部分）电子教案若函数在(a,b)内的每一点处都可导,则称在(a,b)内可导,对于(a,b)内每一个指定的x值,函数都有一个确定的导数值与之相对
5、应,这样构成了一个新的函数,简称导数,记作同时也称为(a,b)内的可导函数.一、用导数的定义求导数根据定义求的导数,可分为以下三个步骤:(1)求增量:;(2)算比值:=0;(3)取极限：.例1常数函数的导数.设,求.解(1)求增量:因为,不论取什么值时,都等于,所以.(2)算比值:=0;(3)取极限：.即(C)¢=0.例2．幂函数的导数.f(x)=xn(n为正整数),求.解特别(1)若n=1,则=1;(2)若n=2,则.例3．求函数f(x)=ax(a>0,a¹1)的导数.解:f¢(x)第23页共23页精
6、品课程《高等数学》（概率统计部分）电子教案.特别地有(ex)=ex.例4．求函数f(x)=logax(a>0,a¹1)的导数.解:.即.:特殊地.,.例5．求函数f(x)=sinx的导数.解:f¢(x).即(sinx)¢=cosx.用类似的方法,可求得(cosx)¢=-sinx.一、左导数与右导数定义2在定义1的条件下,如存在,则称此极限值为函数在点处的左导数,记为第23页共23页精品课程《高等数学》（概率统计部分）电子教案如果存在,则称此极限值为函数在点处的右导数,记为根据第一章第三节的极限存在的充要
7、条件和导数的定义,有:存在的充分必要条件是其左、右导数均存在且相等,即=一、可导与连续的关系1.若函数y=f(x)在点x0处可导,则y=f(x)在点x0处连续证明设函数y=f(x)在点x0处可导,则在点处有,从而有即y=f(x)在点x0处连续2.尽管函数y=f(x)在点x0处连续,但在点处不一定可导.3．若函数y=f(x)在点x0不连续,则y=f(x)在点x0处不可导.二、导数的实际意义1．导数的几何意义由前面的讨论可：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点（x0,f(x0)
8、）,处的切线斜率，即.由此可知如果不存在，则曲线在点M处切线方程为2．导数的物理意义对于不同的物理量有着不同的物理意义，例如变速直线运动位移函数的导数就是速度，即是物体绕一轴旋转的角度，它是时间t的函数，第23页共23页精品课程《高等数学》（概率统计部分）电子教案对时间的导数，就是角速度，即是通过导体截面的电量，它是时间t的函数，对时间t的导数，就是电流，即M=M(x)是质量分布函数，它是长度x的函数，M(x)对长度x的导数，就是质量非均匀
