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1、无穷小量及其应用姓名:储敏学号:200825020306指导老师:张德然【摘要】无穷小量思想在数学史上(微积分和数学分析)的早期发展中起着重要作用,也是对于理解微积分学的关键性概念.对于无穷小量的再认识以及在一种严格的基础上重新论述,是现今数学领域的一个引人注意的课题.无穷小量是高等数学中的一个重要概念,它在高等数学中占有很高的地位.当运算从有限变到无限时,很多在有限运算中成立的结论在无限运算中却不成立.无穷个无穷小量的乘积不一定是无穷小就说明了这一点.对于这个问题,很多人做了研究,并举出了一些例子.但这些例子并没有概括无穷个无穷小乘积的所有情形.本文先阐明了无穷小量的历史发展过程
2、,理清无穷小量的概念与性质.还有关无穷小量与极限的联系.从无穷小量的代数和与积两个方面对无穷小量的无限次运算进行进一步完善的探讨.给出了无限个无穷小量代数和与积仍为无穷小量的条件.【关键词】无穷小量;极限;无限次代数和;无限乘积一.无穷小量的发展史人们对无穷小量的认识已经经历了几千年漫长而曲折的过程,正如Hilbert所指出的:“无穷!还没有别的问题如此深地打动人们的心灵;也没有别的想法如此有效地激发人的智慧;更没有别的概念比无穷这个概念更需要澄清.[1]西蒙·辛格.费马大定理[M].上海:上海译文出版社,1998.1]他还指出“数学是处理无穷的科学”.数学史上所谓3次危机都与无穷
3、有关,它在本质上源于人们对无穷的认识不断深入的过程中所引起的认识上的困难.我们可以把到目前为止人们对无穷小的认识大体上分为以下5个阶段.[2]匡继昌.微积分和无穷小量的哲学思考[J].数学教育学报.2007,16(2):1-3.第一,对无穷小认识的初级阶段是早在公元前5世纪,古希腊毕达哥拉斯学派为了解决不可公度的问题,提出了“原子论”作为一种非常小的度量单位.此后,无穷小伴着古希腊的“穷竭法”,卡瓦列利的“不可分量原理”,促使微积分方法的萌芽和发展.在我国,则有战国时期(公元前446-256年)的分杵原理,即惠施提出的“一尺之杵,日取其半,万世不竭”等.第二阶段是以微积分的诞生为标
4、志,对无穷小量的认识经历了三百年左右的曲折认识,到19世纪才将无穷小量作为其极限为零的变量使用.这是属于潜无穷的认识阶段.承认潜在可实现性抽象在逻辑上可以导出数学归纳法原理.第三,19世纪70年代集合论的建立,使人们对无穷小量的认识进入到实无穷阶段.实无穷抽象作为一种深远的理想化所生成客体的“现实性”并不是直接的.在逻辑上,承认实无穷抽象导致承认排中律而把它作为一条逻辑原理.第四,20世纪60年代的非标准分析将实数域扩大到超实数域,其中每一个通常的实数看成是超实数的标准部分,它的周围聚集着无穷小邻域即单子,对单子结构的分析,是认识无穷小的一个本质的进步.但这种认识仍有其时代的局限性
5、.例如Robinson仅从数理逻辑的角度来认识无穷小,并且用“互补原则”来看待无集集合等.事实上,无穷小世界并不满足因果律.第五,20世纪80年代兴起的“超弦”理论,为无穷小理论提供了新的模型.20世纪现代数学的发展,促使人们逐步认识到实数集合有离散性和连续性两方面.每个实数和数轴上唯一的点成一一对应,实数集合从代数的角度看,它呈现出群、环、域等离散性的侧面,而从拓扑的角度看,它是局部列紧的,又呈现出连续性的一面;实数集的无穷性看成潜无穷时,就要研究实数形成过程的一般性质,例如要用有理数列来逼近无理数;而看成实无穷时则是将实数集合当作一个数学客体来研究.超弦理论的基本思路是将基本粒
6、子作为它的一种泛函空间来研究,而不再像传统的观点那样将基本粒子作为一个质点(几何点)来看待.二.无穷小量的概念及基本性质2.1无穷小量的概念1.在收敛数列中,我们称极限为0的数列为无穷小量,例如数列都是无穷小量.要注意,无穷小量是一个变量,而不是一个非常小的量.[3]陈纪修,於崇华,金路.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2004,35-36.2.设在某内有定义.若则称为当时的无穷小量.[4]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001,59-60.3.在柯西借助于严格的极限理论,明确指出了无穷小量是以0为极限的变量.其本质是:无穷小量是一个变量,它在自己
7、的变化过程中,就其绝对值而言,可以小于任何给定的正数e,或者说它可以无限地接近于0.[5]李庆高.微分思想话今昔[J].潮潭大学自然科学学报,1994,16(1):54-69.综上:极限为零的变量称为无穷小量(简称无穷小).4.注意:(1)这里指极限,包括数列极限和六种形式的函数极限;(2)无穷小量是相对某个极限过程而言;(3)无穷小量是极限为零的变量,而不是绝对值很小的数;(4)数0可视为无穷小量,但无穷小量不一定是0.2.2无穷小量基本性质由无穷小量的定义我们可以
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