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时间:2018-11-13
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1、数形互助相约函数浅识摘要:数形结合是中学数学的重要思想,是解题的重要思想和方法,解题时用“数”与“形”的相互转化,把问题化难为易、化繁为简,使解题事半功倍。本文例举几例数形结合在函数中的应用。 关键词:二次函数函数图像数形结合应用 数形结合是通过“数”与“形”的相互转化,使复杂问题简单化,抽象问题具体化;数形结合是用来解决数学问题的重要思想,近几年来各地中考高考对考生数形结合能力的考查越来越多,同学们在解题时用“数”与“形”的相互转化,把问题化难为易化繁为简,达到了解决问题的目的,也收到了事半功倍的效果,下面我举几例研究数形
2、结合在函数中的应用。 一、以“形”帮“数” 我们解题时,常常发现大量“数”的问题中隐含着“形”,我们可以将抽象、复杂的数量关系形象、直观地揭示出来,以达到“形”帮“数”的目的,让理性的“数”多一些感觉. 例1:下面是一个二次函数y与x的对应关系表: (1)该抛物线对称轴的直线方程是?摇?摇?摇?摇. (2)若抛物线与x轴交于点A、B(A在B的左边)与y轴交于点C,求S. 解析:(如图1) 解法(1):任取三组表中x、y的对应值求表达式,可得y=x-2x-3,从而得到对称轴为直线x=1. (2)由y=x-2x-3得,抛
3、物线与x轴的两个交点A(-1,0),B(3,0),与y轴的交点C(0,-3),∴AB=4,∴S=6. 方法二:(1)观察知:函数图像过(0,-3),(2-3),这两点关于对称轴对称,可得对称轴为直线x=1. (2)由表格知A(-1,0),C(0,-3)再加上对称轴x=1可得B(3,0),∴AB=4,∴S=6. 二、以“数”促“形” 我们解题时会发现图形中常常体现着数的关系,运用“数”的规律,我们可以寻找出处理“形”的方法,来达到“以数促形”的目的,让感性的“形”多一些理性. 例2:已知二次函数y=axbxc的图像如图2,下
4、列结论: ①abc<0②a-bc>0③abc>0④c>-3b 正确的个数是() (A)4(B)3(C)2(D)1 仔细观察抛物线的位置走向,关键点的位置坐标,以及表达式中各系数与图形性质对应关系,再做出判断. 观察图知,当x=-1和x=1时,分别有y>0和y<0,即有a-bc>0和abc<0,可得①、②正确. 由抛物线开口向下知a<0 对称轴x=-=-1∴b=2a ∵对称轴在y轴的左侧,∴a、b同号,∴b<0. 又由于抛物线和y轴的交点在x轴的上方,所以c>0,则abc>0,即③正确. 将b=2a代入abc<0中
5、可得3ac<0,所以c<-3a. 故④不正确,所以应该选B. 三、“数”“形”互转 依形判数,以数助形,直观形象,用运动变化的观点去观察分析,运用图形来观察图形的变化规律,根据图形的几何性质寻找待定系数所满足的条件,列方程或方程组来求解. 例3:如果方程x2axk=0的两个实根在方程x2axa-4=0的两实根之间,试求a与k应满足的关系式. 分析:我们可联想对应的二次函数y=x2axk,y=x2axa-4的草图.这两个函数图像都是开口向上,形状相同且有公共对称轴的抛物线(如图3).要使方程x2axk=0的两实根在方程x2a
6、xa-4=0的两实根之间,则对应的函数图像y与x轴的交点应在函数图像y与x轴的交点之内,它等价于抛物线y的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线y的顶点纵坐标.由配方法可知y与y的顶点分别为:P(-a,-ak),P(-a,-aa-4),故-aa-40时,y与y有两个交点,原方程不同解的个数有两个.
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