第三十讲-数形互助(含答案)-

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1、第三十讲数形互助数和形是数学研究的基本对象，是数学产生和发展的两块基石，在数学发展的过程中，数和形常常结合在一起，在方法上互相渗透，在内容上互相联系．以数助形，即恰当地引参或设元，把一些几何量如角度的大小、线段的长度等用字母或代数式表示，利用图形的性质，寻找几何图形元素之间的关系，通过解方程、等式变形、等式运算等代数方法解证几何题．用形辅数，即把一个代数问题转化为一个图形，问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，借助图形的直观性辅助解题，在代数的学习中，我们广泛地使用了用形辅数的方法，如用数轴赋予抽象的代数概念以直观的形象、乘法公式的几何表

2、示、解应用题时常借助直线图、图表帮助分析等．例题求解【例1】若a、b均为正数，且，，是一个三角形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于．(第13届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨直接用三角形面积公式求面积较为复杂，利用的几何意义(表示直角边分别为m，n的直角三角形斜边长)，构造图形求面积．注古埃及，在长期土地测量、划分界限的过程中形成了最初的几何学．“Geometry(几何)”一词在希腊文中意为“测量”，我国宋元时期巳将某些几何问题代数化，把图形之间的几何关系，表示成代数式之间的代数关系．17世纪笛卡尔的解析几何引进坐标，用“数”研究“形”，为

3、18、19世纪数学的空前发展作了准备．【例2】如图，在△ABD中，C为AD上一点，AB=CD=1，∠ABC=90°，∠CBD=30°，则AC=()A．1B．C．D．(武汉市选拔赛试题)思路点拨过D作DE⊥AB交AB延长线于E，设AC=x，BE=y，运用平行线分线段成比例、直角三角形边角关系、勾股定理等知识建立方程组，通过解方程组求AC的值．【例3】如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=，直线FC交AB的延长线于G，过线段FG上的动点H作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足分别为M，N，设HM=x，矩形AMHN

4、的面积为y．(1)用x的代数式表示y；(2)当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少?(2001年南京市中考题)思路点拔对于(1)S矩形AMHN=HM×AM，AM=AB+BM，只需把BM用x的代数式表示即可，对于(2)，把关于x的代数式通过配方变形可获解．注意相似三角形基本图形的运用．【例4】已知正数a、b、c和x、y、z满足，求证：．(前苏联第21届中学生奥赛题)思路点拨相等的量赋予它的几何意义，易想到等边三角形、正方形，从构造边长为的正方形入手．注对于一个几何问题，能否通过代数运算解块，关键在于几何问题中数量关系能否方便地表示

5、成适应代数适算的表达式：一个几何问题，能否通过列方程的手段解决，在于问题本身是否存在着构成方程的等量关系，在寻找等量关系的过程中，常用到勾股定理、全等三角形、相似三角形等知识与方法．美国数学家斯蒂思说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法．”图形能直观、形象地表示数量关系，能帮助分析、理顺复杂的数量关系．用形辅数目前常见的方式是：(1)利用等量构造等边三角形、正方形；(2)利用根式的几何意义构造直角三角形、矩形．【例5】如图，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米．点P沿AB

6、边从点A开始向点B以2厘米／秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米／秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形?(2)求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；(3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?(2002年山西省中考题)思路点拨(1)把相关线段用t的代数式表示，利用勾股定理建立t的方程，(2)注意动态变化过程中某些量的不变性，从而提出相关问题，(3)借助三角形相似的判定方法，探求质点运动的时间，其中蕴含着分类

7、讨论的思想方法．学历训练1．如图是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为．(2001年山东省济南市中考题)2．用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每个长方形地砖的面积是．(2003年黑龙江省中考题)（第1题）（第2题）（第3题）3．如图，在正方形网格上有6个斜三角形，①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，其中②~⑥中，与三角形①相似的是()A．②③④B．③④⑤C．④⑤⑥D．②③⑥4．已知一个直角三角形的两直角边上的中线长分别为5

8、和2，那么这个三角形的斜边长为()A．10B．4C．D．5．如图，以长为2的定线段为边作正方形ABCD，取AB的中点P，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF