几何与多元函数微分--xuesheng(1)

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1、空间解析几何与向量代数一、主要公式1、两点间的距离设，为空间两点，距离，则特别地，与原点的距离为．2、方向余弦设向量的终点为，即，则，单位向量可表示为.3、两向量间的夹角设向量，间的夹角为，由，得.4、两平面的位置关系设平面的法线向量分别为，，则所夹的不超过的角称为平面与的夹角5、点到平面的距离：空间一点到平面的距离6、点到直线的距离点到过点且以为方向向量的直线的距离为7、直线与平面的夹角设直线在平面上的投影直线为，则直线与的夹角称为直线与平面的夹角，若直线的方向向量与平面的法线向量夹角的正弦二、例题分析16例

2、1把直线的一般式方程化为直线的点向式方程．例2求通过直线且与平面垂直的平面方程，例3求曲线：在坐标面和上的投影曲线的方程．解曲线是圆锥面和母线平行于轴的柱面的交线．由曲线方程组中消去，得到，即，它是曲线在坐标面的投影柱面的方程，因此曲线在坐标面上的投影曲线方程为，这是以为圆心，为半径的圆．因为曲面是过曲线且母线平行于轴的柱面，所以它就是曲线在坐标平面上的投影柱面，因而曲线在坐标平面上的投影曲线的方程为，这是一条抛物线．例4.将空间曲线的一般式方程转为化为参数式方程（1），例5.设一立体，由上半球面和锥面所围成求

3、它在平面上的投影。例6.一直线过，且与轴垂直相交，求这直线的方程。三、检测习题1、设一平面通过Z轴，且与平面：的夹角为，求此平面方程2、求过点（1，2，1）且与和平行的平面方程四、竞赛真题1（05年）设，则。2（05年）设平面位于平面与平面之间，且将此两平面的距离分为，则平面的方程为（）（A）；（B）；（C）（D）。3（06年）由曲线绕轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为。164.(09年)设，，若与OZ轴垂直，则λ=。5.(10年)设a，b为非零向量，且满足（a+3b）⊥（7a–5b），（a–

4、4b）⊥（7a–2b），则a与b的夹角为___。五、练习题（一）向量代数1.设与垂直，与垂直，且为非零向量，求的夹角.2.已知，求的值.3.化简.4.化简.5.求与向量共线且满足的向量.6.向量，试证：共面；试用与表示.7.设为非零向量，且，求.（二）空间解析几何1.求通过直线，且切于球面的平面方程.2.求点与直线的最短距离。3.求直线与之间的最短距离.4.求直线与的公垂线方程.5.一直线过点而且和二定直线相交，建立它的方程。6.设，，，求平行而分别与都相交的直线方程.7.求二平面、间的两面角的平分面方程.8.

5、一平面通过平面和的交线，且与平面成角，求其方程.9.求直线在平面上的投影直线的方程，及绕轴旋转一周所成曲面的方程.10.求直线,在三个坐标面及平面上的投影方程.11.求球面所围成的含有轴的立体在坐标面上的投影。(三)综合题161求球面与平面的交线在坐标面上的投影曲线在点处的切线方程。2.设直线在平面上,而平面的方程与曲面相切于点,求的值.3.在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（）只有一条；只有2条；至少有3条；不存在.五、提示与解答竞赛真题答案：1.4;2.D;3.；4.2;5.（一）向量代数1.提示：根据两

6、向量垂直其点积为零，再用求夹角公式可得.2.提示：注意利用向量混合积的轮换对称性，计算可得原式=4；3.提示：利用叉积和点积计算公式可得原式=；4.提示：注意，原式=5.提示：设则由得，6.提示：利用向量共面充要条件可得；7.解：原式=（二）空间解析几何1.提示：化为：，则在平面上且与球面相切.也可用平面束求：设过直线的平面束为因平面与球面相切，球心到平面的距离为，得.代入平面束方程得所求平面方程为2.提示：过点作与直线垂直的平面，求出直线与平面的交点N，于是最短距离.3.提示：在过的平面束：中选出平行，：，则

7、上的任一点（不妨取点）到的距离即为所求（也可用点到直线的距离公式求）4.提示：记与确定的平面为，与确定的平面为，则与16的交线即为公垂线方程5.提示：确定一个平面确定一个平面即为6.提示：设是过且平行的平面，为过且平行的平面故所求直线方程为与的交线：7.提示：设平分面方程为，则到两平面的距离相等解得即为所求.8.提示：利用平面束方程和两平面的夹角公式，可得出所求的平面方程分别为：.9.提示：求出过且与平面垂直的平面为，直线的方程可由与的面交式给出为即，于是绕轴旋转一周所成曲面的方程为：即.10.提示:在坐标面上

8、的投影方程分别是在平面上的投影方程：过且垂直于平面的平面与平面的交线即为所求。11.提示：两曲面的交线为而球面在平面上的投影为易见后者包含前者，所以所求投影为(三)综合题1.提示：消去得曲线的投影柱面方程联立得投影曲线方程方程两边对求导得投影曲线点处的切线方程为：162.提示：作平面束方程为，其法向量为由于平面的方程与曲面相切于点，平面在点处的法向量为，又平行即得，再由点在平面上，代入