文科数学第五章第四节

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1、第四节　数列通项的求法第五章　数列考纲要求高考是以知识为载体，以方法为依托，以能力为目标来进行考查的，对通项公式的要求远不止停留在只求等差数列、等比数列的通项公式，有很多考题都是通过诸如构造法、累加法、累乘法以及利用Sn与an的关系和数列的递推公式把要求的数列转化为等差数列或等比数列来求的.课前自修知识梳理数列的通项公式是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式一样，有了解析式便可研究其性质等，而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前n项和等．因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点．在近年来的高考题中经常出现给出数列的解析式(包

2、括递推关系式和非递推关系式)求通项公式的问题，对于这类问题考生感到困难较大．为了帮助考生突破这一难点，现将求数列通项的思想方法归纳如下：①化归与转化思想；②换元思想；③方程思想．基础自测3．(2011·三明市模拟)在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项an＝________.解析：在数列中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，∴an＋1＋3＝2(an＋3)(n≥1)，即{an＋3}是以a1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列．∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1.∴该数列的通项an＝2n＋1－3.

3、答案：2n＋1－34．(2012·哈尔滨六中期末)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式an＝________.考点探究考点一已知递推式如an＋1＝an＋f(n)型，求通项an若数列有形如an＋1＝an＋f(n)的解析关系，而f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的和是可求的，则可用多式累(迭)加法求得an.【例1】(2011·厦门市质量检测)已知数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－1，n∈N*，则数列{an}的通项公式an＝______________.解析：由条件an＋1＝an＋2n－1，n∈N*，

4、即an＋1－an＝2n－1，得a2－a1＝1，a3－a2＝3，a4－a3＝5，…，an－1－an－2＝2n－5，an－an－1＝2n－3，将以上n－1个式子相加并化简，得an＝a1＋(n－1)2＝n2－2n＋21.答案：n2－2n＋21变式探究1．(2012·济宁市鱼台一中月考改编)已知{an}是整数组成的数列，a1＝1，且点(，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2的图象上，则an＝__________.解析：依题意有an＋1＝an＋n，∴an＋1－an＝n.∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(

5、n－1)＋(n－2)＋…＋1＋1＝.答案：考点二已知递推式如an＝f(n)·an－1(n≥2)型，求通项an若数列有形如an＝f(n)·an－1(n≥2)的解析关系，而f(1)·f(2)·…·f(n)的积是可求的，则可用多式累(迭)乘法求得an.变式探究2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3n·an，则an＝________.解析：由an＋1＝3n·an，得a2＝3·a1，a3＝32·a2，…，an＝3n－1·an－1，以上n－1个式子左右分别相乘，得an＝3·32·…·3n－1·a1＝2·31＋2＋…＋(n－1)＝.答案：考点三已

6、知递推式如an＝pan－1＋q(n≥2，p，q为常数，pq≠0，p≠1)型，求通项an若数列有形如an＝pan－1＋q(n≥2，p，q为常数，pq≠0，p≠1)的线性递推关系，则可用待定系数法求得an.具体思路是：设递推式可化为an＋1＋A＝p(an＋A)，得an＋1＝pan＋(p－1)A，与已知递推式比较，解得A＝，【例3】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，求an.点评：(1)注意数列解题中的换元思想的运用，如bn＝an－3和bn＝an＋1－an.(2)对数列递推式an＋1＝pan＋q，我们通常将其化为＝，设bn＝an－

7、A，构造数列{bn}为等比数列．变式探究3．(2012·绵阳市南山中学诊断改编)在数列{an}中，a1＝，且满足an＋1－2an＋1＝0，求数列{an}的通项公式．解析：由an＋1－2an＋1＝0，得an－2an－1＋1＝0，两式相减得an＋1－an＝2(an－an－1)，∴{an＋1－an}是等比数列，首项为a2－a1＝2a1－1－a1＝a1－1＝，公比为2.∴an＋1－an＝×2n－1.又an＋1－2an＋1＝0，∴an＝2n－2＋1.考点四变式探究课时升华6．已知an与Sn的关系式，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，将关系式转化为

8、只含有an或Sn的递推关系，再利用上述方法求出an.7．先猜后证法：根据递推式求前几项，猜出通项，再用数学归纳法加以证明.感悟高考品味高考1．设各项均为正数的数列的前n项和为Sn，已知2a2＝