文科数学第五章第三节

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1、第三节　等比数列及其前n项和第五章　数列考纲要求1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系.课前自修知识梳理一、等比数列的定义一般地，一个数列从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，即＝q(n∈N*)，则这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．二、等比数列的通项公式若数列{an}为等比数列，则an＝a1·qn－1.五、等比数

2、列的主要性质1．an＝am·qn－m(n，m∈N*)．2．对于任意正整数m，n，r，s，只要满足m＋n＝r＋s，则am·an＝ar·as.3．对于任意正整数p，r，s，如果p＋r＝2s，则ap·ar＝.4．对任意正整数n>1，有＝an－1·an＋1.5．对于任意非零实常数b，{ban}也是等比数列．6．若{an}，{bn}是等比数列，则{anbn}也是等比数列．7．等比数列中，如果an>0，则{logaan}是等差数列．8．若数列{logaan}成等差数列，则{an}成等比数列．9．若数列是等比数列，

3、则数列{a2n}，{a2n－1}，{a3n－1}，{a3n－2}，{a3n}等都是等比数列．10．若数列是等比数列，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比数列，所以(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)．1．(2012·北京市西城区模拟)若数列是公比为4的等比数列，且a1＝2，则数列{log2an}是()A．公差为2的等差数列B．公差为lg2的等差数列C．公比为2的等比数列D．公比为lg2的等比数列答案：A基础自测2．(2012·三明市模拟)设数列为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x

4、2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.3．(2012·辽宁卷)已知等比数列{an}为递增数列，且＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝______.解析：∵＝a10，∴(a1q4)2＝a1q9.∴a1＝q.∴an＝qn.∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an(1＋q2)＝5anq.∴2(1＋q2)＝5q.解得q＝2，∴an＝2n.答案：2n（舍去q＝)考点探究考点一等比数列基本量的计算【例1】(1)已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝7

5、，a1a2a3＝8，求公比q，首项a1及通项公式an.(2)(2011·大纲全国卷)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.思路点拨：利用等比数列的基本量的关系式，根据条件列方程，进而求出a1和q.点评：转化成基本量的方程，进而解方程是解决数列问题的基本方法．变式探究1．(1)(2012·南宁市适应性测试)已知数列{an}是正项等比数列，若a2＝2,2a3＋a4＝16，则数列{an}的通项公式an＝()A．2n－2B．22－nC．2n－1D．2n(2)(20

6、12·泉州市四校联考)满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1025的最小n值是()A．9B．10C．11D．12考点二等比数列的证明(或判断)【例2】(2012·赣州市期末改编)设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn＝(m＋1)－man(m为常数，且m>0)．(1)求证：数列{an}是等比数列；(2)设数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝2a1，bn＝f(bn－1)(n≥2，n∈N*)，求数列{bn}的通项

7、公式．变式探究2．已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….(1)证明：数列{lg(1＋an)}是等比数列；(2)设Tn＝(1＋a1)(1＋a2)·…·(1＋an)，求Tn及数列{an}的通项；(2)解析：由(1)知lg(1＋an)＝2n－1·lg(1＋a1)＝2n－1·lg3＝lg，∴1＋an＝，∴an＝－1.∴Tn＝(1＋a1)(1＋a2)·…·(1＋an)＝···…·＝31＋2＋＋…＋＝.∵an＝－1，a1＝2，an＋1＝，∴Sn＝1－.又Tn

8、＝，∴Sn＋＝1.【例3】(2012·大连市模拟)在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．(1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明：{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．思路点拨：本题主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.(1)证明：由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得an＋1－an＝q(an