05谐振动的合成

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1、平行简谐振动的合成振动频谱设一个质点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动：代数方法：一、同方向同频率简谐振动的合成旋转矢量法矢量的合矢量的端点在X轴上的投影M的运动也是简谐振动，其频率与原来两个振动相同。即：合振动仍然是一个简谐振动，且频率不变。可得，合振动：从图中三角形的边角关系，很容易得到：合振动的强弱,取决于两分振动的相位差：=2-1=2k,k=0,±1,±2,…,A=A1+A2,加强=(2k+1),k=0,±1,±2,…,A=

2、A1-A2

3、,减弱=例：两同方向、同频率谐振动求：合成谐振动方程解：合成后不变，合振动方程：设它们的振幅相等，初相位依次差

4、一个恒量。其表达式为：在OCP中：在OCM中：二、同方向的N个同频率简谐振动的合成所以，合振动的表达式上两式相除得即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。当讨论2：这时各分振动矢量依次相接，构成闭合的正多边形，合振动的振幅为零。以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉和衍射规律时有重要的应用。当且讨论1：利用三角函数关系式：合成振动表达式：这里我们讨论两个振幅、初相位相同，在同方向上以不同频率振动的合成，且1与2相差很小。三、同方向不同频率简谐振动的合成合振动不是谐振动随t变化缓慢随t变化较快由于1与2相差很小,故1-2比1+2小得多;即比的周期长得多！所

5、以，合振动可近似看作是一个振幅缓慢变化的谐振动—拍:振幅Ａ０变化的频率叫拍频。显然，拍频是振动的频率的两倍。垂直简谐振动的合成设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动。①②①、②式消t，得合振动的轨道方程：分振动上式是个椭圆方程，具体形状由相位差决定。一、相互垂直同频率简谐振动的合成讨论:为直线方程1.同相位2.反相位3.是在X轴半轴长为，Y轴半轴长为的椭圆方程，且顺时针旋转。播放动画播放动画综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆上进行（直线是退化了的椭圆）当两个分振动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。质点的运动方向与有关

6、。当时，质点沿顺时针方向运动；当时，质点沿逆时针方向运动。合振动一般是复杂的运动，轨道不是封闭曲线，且合振动的轨道也不稳定。两分振动的频率成整数比，其合振动的运动轨迹为一稳定的闭合曲线，称为李萨如图形。二、相互垂直不同频率简谐振动的合成播放动画用李萨如图形在无线电技术中可以测量频率：在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。上式的推导：X=A1cos(ωt+φ1)Y=A2cos(ωt+φ2)变换：Y=A2cos(ωt+φ2)=A2cos(ωt+φ1+φ2-φ1)令α=ωt+φ1β

7、=φ2-φ1则有：X=A1cosαY=A2cos(α＋β）得：Y=A2[cosαcosβ-sinαsinβ]改写为：两边平方，利用cosα=X/A1阻尼振动受迫振动共振实际振动过程存在着阻力，这种由弹性恢复力和阻力共同作用的振动叫阻尼振动。当物体低速运动时，阻力谐振子的阻尼振动一、阻尼振动(dampedvibration)欠阻尼振动1.过阻尼振动2.临界阻尼振动3.过阻尼临界阻尼三种阻尼振动比较欠阻尼临界阻尼达到平衡位置的时间最短，但仍不能超过平衡位置。在阻尼振动中，要维持振动，外界需加一个周期的强迫力------策动力。这种在周期性处力作用下进行的振动叫受迫振动。2.

8、受迫振动方程(以弹簧一维振动为例)弹簧受弹性力阻尼力策动力二、受迫振动共振1.受迫振动（forcedvibration）受迫振动方程---二阶常系数非齐次微分方程通解经过足够长的时间，受迫振动的稳定态为：策动力频率等于固有频率时振幅最大------共振。3.共振(resonance)共振现象的应用我国古代就有大量的应用:天坛的回音壁黄鹤楼上磨擦铜盆时水的共振表演小号发出的声波足以使酒杯破碎