第六讲 函数的奇偶性

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1、玖佰教育成就学生的未来！第六讲函数的奇偶性第一部分：奇偶性1．定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有，那么函数f(x)就叫偶函数；如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有，那么函数f(x)就叫奇函数。2．奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。若函数为奇函数，且在x=0处有定义，则；3．判断一个函数的奇偶性的步骤⑴先求定义域，看是否关于原点对称;⑵再判断或是否恒成立。4．奇偶函数图象的性质①奇函数的图象关于原点对称。反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。②偶函数的图象关于y轴对称。反过来,如果一个函

2、数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数。5．具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称．6．常用结论：(1)奇偶性满足下列性质：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。例1：判断下列各函数是否具有奇偶性⑴、⑵、⑶、⑷、⑸、⑹、解：⑴为奇函数⑵为偶函数⑶为非奇非偶函数⑷为非奇非偶函数⑸为非奇非偶函数⑹既是奇函数也是偶函数5玖佰教育成就学生的未来！7.关于函数奇偶性的题型1、利用奇偶性求函数值例1：已知且，那么2、利用奇

3、偶性比较大小例2：已知偶函数在上为减函数，比较，，的大小。3.利用奇偶性求解析式例3：已知为偶函数，求的解析式？4、利用奇偶性讨论函数的单调性例4：若是偶函数，讨论函数的单调区间？5、利用奇偶性判断函数的奇偶性例5：已知函数是偶函数，判断的奇偶性。5玖佰教育成就学生的未来！6、利用奇偶性求参数的值例6：定义在R上的偶函数在是单调递减，若，则的取值范围是如何？7、利用图像解题例7（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式的解是.8.利用定义解题例8.已知函数，若为奇函数，则________。综

4、合练习1．判断下列函数是否是偶函数．（1）（2）1.解：（1）因为定义域不关于原点对称是非奇非偶函数（2）需满足条件关于原点对称为偶函数5玖佰教育成就学生的未来！2：判断函数的奇偶性。3、已知函数是定义在上的奇函数，且（1）确定函数的解析式；（2）判断并证明在的单调性；3、解：（1）由(0)＝0，＝，可得a＝1，b＝0，∴＝（2）任取，且，则，因为，且，∴，在是增函数4：已知是奇函数，且当时，，求当时的解析式。4.解：当时，，所以有，又已知是奇函数，所以有＝。即当时，。5.已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：（1）是奇函数；（2）在定义域上单调递减；（3）

5、求的取值范围。5解：，则，5玖佰教育成就学生的未来！6．函数在R上为奇函数，且，则当，　　　　 .7.函数，是（　 ）A．偶函数　　　　　　　B．奇函数　　　　 C．不具有奇偶函数D．与有关第二部分：周期性周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.具有周期性的抽象函数：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,①，则是以为周期的周期函数；②，则是以为周期的周期函数；③，则是以为周期的周期函数；④，则是以为周期的周期函数；⑤，则是以为周期的周期函数.

6、主要方法：判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的恒有;二是能找到适合这一等式的非零常数，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.5