从算术到代数(含答案)

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1、从算术到代数（先阅读，再看例，最后尝试练习）完成时间：建议两天知识纵横“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”(algebra)可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”。著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言。”毛用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别。字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代表式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用。例题【例1】(河南省中考题)观察下列等式：9-1

2、=8,16-4=12, 25-9=16,36-16=20,……这些等式反映出自然数间的某种规律,设n表示自然数,用关于n的等式表示出来:____________.思路点拨在观察给定的等式基础上,寻找数字特点,等式的共同特征,发现一般规律.解:(n+2)2-n2=4(n+1)【例2】(竞赛题)某商品2000年比1999年涨价5%,2001年又比2000年涨价10%,2002年比2001年降价12%,则2002年比1999年()A.涨价3%B.涨价1.64%C.涨价1.2%D.降价1.2%思路点拨设此商品1999年的价格为a元,把相

3、应年份的价格用a的代数式表示,由计算作出判断.解:选B.【例3】(竞赛题)有一张纸,第1次把它分割成4片,第2次把其中的1片分割分4片,以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片,如此进行下去,试问:(1)经5次分割后,共得到多少张纸片?(2)经n次分割后,共得到多少张纸片?(3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么?思路点拨从简单情形入手,发现纸片数的特点是解本例的关键.解:(1)因为每分割1次,就要增加3张纸片,所以经5次分割,共得到1+3×5=16张纸片.(2)经n次分割,共得到(1+3n)张纸片.-5-(3)若

4、能分得2003张纸片,则1+3n=2003,3n=2002,无整数解,所以不可能经若干次分割后得到2003年纸片.【例4】(竞赛题)在右图中有9个方格,要求每个方格填入不同的数,使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等,问:右图上角的数是多少?思路点拨虽然要求的只是右上角的数,但是题目的条件还与其他的数有关,因此,需恰当地引进不同的字母表示数,以便充分运用已知条件.解:提示:如图,设相应方格中的数为x1,x2,x3和x4,问号处填的数为x,由已知条件得:x+x1+x2=x+x3+x4=x1+x3+13=x2+19+x4,这样

5、,前面两个式子之和等于后面的两个式子之和,即2x+x1+x2+x3+x4=13+19+x1+x2+x3+x4,∴2x=13+19,得x=16.练习1.(福州市中考题)给出下列算式:12+1=1×2,22+2=2×3,32+3=3×4,……观察上面一列算式,你能发现什么规律,用代数式子表示这个规律:________.2.(武汉市中考题)已知:2+=22×,3+=32×,4+=42×……,若10+=102×(a、b为正整数),则a+b=_________.3.(江苏省竞赛题)若(m+n)人完成一项工程需要m天,则n个人完成这项工程需

6、要________天.(假定每个人的工作效率相同)4.(河南省竞赛题)某同学上学时步行,回家时坐车,路上一共要用90分钟,若往返都坐车,全部行程只需30分钟,如果往返都步行,那么,需要的时间是________.5.一项工程,甲建筑队单独承包需要a天完成,乙建筑队单独承包需要b天完成,现两队联合承包,完成这项工程需要()天.A.B.+C.D.6.(中考题)某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现,二月份比一月份增加10%,三月份比二月份减少10%,那么三月份比一月份()A.增加10%B.减少10%C.不增不减D.减少1%7.

7、为了绿化环境,美化城市,在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪,如果两块草坪的周长相同,那么它们的面积S1、S2的大小关系是()A.S1>S2B.S1

8、n(n≥2)个圆点,每个图案中圆点的总数是S.按时规律推断出S与n的关系式是__________.(广西中考题)10.(“希望杯”邀请赛试题)如图,将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起(b>a>0),用a、b表示三角形ABC的面积为_______