从算术到代数

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1、第13卷第2期数学教育学报Vol.13,No.22004年5月JOURNALOFMATHEMATICSEDUCATIONMay,2004从算术到代数史炳星（北京教育学院数学系，北京100044）摘要：从算术向代数过渡，是学生数学学习过程中极为重要的转变阶段．符号是代数不同于算术的典型特征，学生从算术向代数的过渡，是从对数的思考向对符号的思考的转变，是从算术思维向代数思维的转变，是思维层次从个别到一般、具体到抽象的飞跃．关键词：算术；代数；结构；过程；对象中图分类号：G421文献标识码：A文章编号：1004–9894（2004）02

2、–0079–03从算术向代数过渡，是学生数学学习过程中极为重要的结果对象来理解就是比较困难的了．我们不妨举马明先生的转变阶段．算术中的基本对象是数，包括数的表示、数的意一段学生时期的回忆作为例证：义、数之间的关系、数的运算等，这些知识对学生是基本的，“已知长方形的长为a尺、宽为b尺，求其周长．我算它们将为学生今后的代数学习打下坚实的基础．所不同的的结果是2(a+b)尺．我拿着这个结果去问老师：‘究竟这个是，代数中的基本对象除了数，还出现了更具广泛意义的基长方形的周长是多少？’老师说：‘不是已经算出来了吗？本对象——符号，这是代数不

3、同于算术的典型特征．在代数2(a+b)尺！’我感到困惑不解．”这是对初学者只知代数式表中，用字母表示数，用符号表示运算法则、运算性质、计算示过程、不知代数式也表示结果的生动写照．公式等，将数的知识提升到一般化的水平．在代数的课程中，因此，对代数式的意义的认识，学生不是一蹴而就的，学生要学习符号的意义、进行符号之间的运算（形式变换）而是需要一个理解的过程．和转换、用符号进行表示、用符号解决问题．在此过程中，代数式既表示运算过程，同时也表示运算结果，这件事学生还要学习许多新的概念，如代数式、变量、参数、图像、可以这样理解，如2(a+b

4、)，当我们代入数值a=2，b=1时，方程、函数等，而且他们还需要懂得代数的结构．因此，代经过运算，就得到2(2+1)=6，这显示了代数式过程性的一数的内容和方法对学生提出了更高的要求，是学生所面对的面．同时，对于2(a+b)，不论a和b代入何值，它都代表又一次挑战．学生从算术向代数的过渡，是从对数的思考向周长，代表长为a、宽为b的长方形的周长，是作为一个对对符号的思考的转变，是从算术思维向代数思维的转变，是象，或者说是作为一个整体来理解的，它在这一背景下有着思维层次从个别到一般、具体到抽象的飞跃．确定的含义．我们可以进一步用下面的

5、例子说明．研究算术方法和代数方法各自的特点，研究它们之间的用通项公式1(n=1,2,L)表数列1，1，1，L，1，L时，n23n联系与不同，对于提高教师的专业水平，以及有效地进行教1学设计和有针对性地对学生进行指导是十分重要的．其中代数式是一个整体，是作为一个对象，而通常不是n1结构作为1和n这两个对象．算术运算和代数运算的根本区别在于算术运算是过程结构，是代数最基本的方面之一．我们这里所说的结构，性的，算术运算的目的是为了求出算式的结果，而代数运算正如弗赖登塔尔所指出的：“结构是从语言表达抽象出来的是结构性的，是形式变换，代数运

6、算具有过程和结果双重性．[1]一种形式．”他给出了一个代数结构的简单的例子我们下面进一步对结构进行说明．a+b=c，即将一个数a和另一个数b加到一起，就会得到凯伦（Kieran，1989）把结构分为表面结构和系统结构数c．回想在算术中，当写两个数相加的形式时（如2+7），两个层次．表面结构是指由不同的项、不同的运算构成的一通常就是要算出2和7的和（9），2+7通常只是一个过程，种代数表达形式，如a+b，-3x+2(x+1)=5，它们反映了9是2+7的结果．而代数式a+b这个形式本身，既表示a不同的数量关系．而系统结构是指源于数学系

7、统内的运算性和b这两个数作加法运算，也表示a和b相加的结果．即质，如：a+b本身既可以看作运算过程，又可以看作运算结果，也就-3x+2(x+1)=-3x+2x+2=-x+2=2-x．是作为一个对象看待．将2+7作为一个数的解释是真正的代数，它与文字演算紧密相关．分配律合并同类项交换律如果说把代数式作为一个运算过程来理解，对于开始学代数的学生来说还不是太困难的话，那么把代数式作为一个表面结构和系统结构的区分，使得对于代数结构的认识收稿日期：2003–12–07作者简介：史炳星（1947—），女，辽宁沈阳人，副教授，从事数学教育研究．

8、80数学教育学报第13卷进一步细化．表面结构涉及如何进行符号表示的问题，系统(100-4×17)÷(8-4)=32÷4=8，17-8=9．结构涉及如何进行符号运算的问题．如上面我们所谈论的长解法三方形的周长问题，它可以表示为2(a+b)，也可以表示