第九讲从算术到代数

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1、第九讲从算术到代数（一）　　算术与代数是数学中两门不同的分科，但它们之间关系密切.代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.　　在小学算术课本里同学们由浅入深地学习了整数、小数和分数的加、减、乘、除四则运算，并学会了用这些四则运算去解一些不太复杂的四则应用题.归纳一下，在用算术方法解应用题时主要用到了以下三种关系：　　①部分数与总数的关系；　　②两数差的关系；　　③一倍数（或一份数）、倍数和几倍数的关系.第1、第2种关系用“加”、“减”法完成，第3种关系则用乘、除法完成.在解四则运算题时用到了对

2、于数的“加法”、“乘法”都普遍成立的运算法则：交换律、结合律、分配律.设a、b、c表示任意三个数，下列等式恒成立：　　交换律：a＋b=b+a，a×b=b×a　　结合律：（a+b）+c=a+（b＋c）　　　　　（a×b）×c=a×（b×c）　　分配律：a×（b+c）＝a×b+a×c.　　另外，在用算术方法解应用题时常按应用题的性质分为许多类型.如：和倍问题、差倍问题、行程问题、百分数问题、比例问题、….对每类问题先归纳出解决这类问题的方法、公式，并找出理由加以解释，再做这类题时就“套”这种公式.所以用算术

3、方法解应用题时，对不同类型的题用不同的思路列式求解，解法就不同，因而用算术方法解应用题是不带普遍性的.　　代数方法的进步首先在于找出了一个统一的方法，即用列“方程”来解很多不同类型的应用题.“方程”是代数学中的重要内容之一.用方程来解应用题时，首先是用一些简单的符号，通常用x，y，z，t，s，u，v等字母来表示问题中待求的未知数，然后把这些未知数和已知数平等地看待，并把题目中的数量关系直接（平铺直叙）“翻译”为算式表示出来.这就是所谓依题意列方程.接着是通过代数方程去确定其中所含未知数应该等于什么样的值

4、，即“解方程”.而解方程的原理就是对方程中的数，包括已知数和未知数，运用在“算术”中学过的“数的运算法则”把未知数求出来.因为这些法则是对任何数都成立的，当然对那些暂时还不知它的值的“未知数”也应当成立.只要适当地运用这些法则，一般就可求出方程中的未知数的值.归纳起来用代数方法解应用题的步骤如下：　　1.设未知数.常用x，y，z，t，s，…等字母表示.　　2.依题意列方程.即把所要解决的代数问题中的未知量换成代表未知数的字母，把问题中各种量间的关系“翻译”为带字母的算式表示出来，特别注意找出其中的相等关

5、系.用两个代数式表示同一个数量，列出一个方程.因此方程是含有未知数的等式.一般说来，有n个相等关系就能列出n个方程，当然我们从中选取列方程与解方程时最方便的形式.　　3.解方程.目的是把原方程变成同解的形如ax＝b的方程，进而解出　　　①用分配律去括号.而不一定能像算术中那样先把括号中数算出来.因为其中有的是未知数算不出来.如下例中的（1）变成（2）.　　例164+x=3（32-x）（1）　　　　64+x=96-3（2）　　　　x+3x=96-64（3）　　　　　4x＝32（4）　　　　　x=8.（5）

6、　　②移项.把含未知数的项与常数项（即不含未知数的项）分离开来，分别移到等号两端，注意移项变号法则.如上例中的（2）变成（3）.　　③合并同类项，如上例中的（3）变成（4）.　　④用未知数的系数去除方程两端求出x的值.如上例中的（4）变成（5）.　　4.验算.一是实际计算求出的根是否满足方程，不满足的都舍去，二是根据题目的实际意义，删除不合理的解.　　先以几个简单的四则应用题为例来对“算术解法”与“代数解法”作一比较.　　例2车站给某工厂运2000箱玻璃.合同规定完好地运到一箱给5元运费.如损坏一箱，不

7、给运费，倒赔40元.这批玻璃运到后，车站共收到运货款9190元.问损坏了几箱玻璃.　　解：①算术解法：假如设有损坏，2000箱玻璃全运到，则应得运货款：2000×5=10000（元）.　　和实际所得运货款相差：　　10000-9190=810（元）.　　现在让我们用一箱好的换一箱损坏的玻璃，总箱数2000不变，但每换一箱所得运货款减少：　　40＋5=45（元）　　那么换多少箱，货款正好减少多出来的810元呢？做除法：　　810÷45＝18（箱）.　　答：共换坏了18箱.　　②代数解法：　　设损坏了x箱，

8、则没损坏的共2000-x箱.　　依题意列方程　　5（2000-x）-40x=9190　　　　　　　　45x=10000-9190　　　　　　　　45x=810　　　　　　　　　x=18.　　答：损坏了18箱.　　比较这两种解法，可见代数方法简洁并具有高度普遍性.我们在后面的许多例题中都能充分地看出代数方法的优越性.但这决不等于说可以取消算术.这正如火车虽快决不能代替步行.在攀登高峰的崎岖的小道上还常常靠坚实的足步.下面举几个例子来看看算术方