数分选讲讲稿第27讲new

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1、讲授内容备注第二十七讲§5.2函数项级数　2．和函数的连续性和函数的连续性定理有如下三种形式定理1设函数在区间上连续，在上一致收敛．则在上连续．定理2　设在处连续，在　　　的某个邻域内一致收敛．则在处　　　连续．定理3　设函数在区间内连续，　　　在内闭一致收敛［意指在内的任一　　　闭子区间上分别一致收敛］．则在　　　内连续．　　例22设在区间上连续，在内一致收敛．求证：在上一致连续．　　证　在上连续，．　　在内一致收敛3学时11由例题20知，可逐项取极限所以在处收敛．　　设　　　　　　　　　　　　　．　　在内一致收敛　　，，当时，对有又因为与

2、收敛，对上述对上述，，当时，　　　　　　　，当时，取，当时，对有即在上一致收敛．据和函数连续性定理1知　　　　　　　在上连续．再由闭区间上连续函数定理知　　　　　　　在上一致连续．11例23设是内的一个序列：，且．试讨论函数在内的连续性．解　　　　　　且收敛由判别法知在内一致收敛．　设为内任意一点．则通项在处连续．由及和函数连续性定理2知，在处连续．　设是中任意一点．　　右边第一项在处连续，第二项在处间断．所以处间断．例24证明：在内连续．证，考虑内闭区间　　由根式判别法知，收敛．11所以，在上一致收敛．由的任意性和定理3知，在内连续．例25

3、　证明：在内非一致收敛．证　当时，．当时，级数是无穷递缩等比级数，．　即在处间断．因此，该级数在上非一致收敛．（定理1：一致收敛的必要条件）假如在内一致收敛，在处收敛．同例22的证法，可知级数在上一致收敛．矛盾.因此，原级数在内非一致收敛．注：利用和函数连续性定理，可推断非一致收敛．　3．和函数的可微性与逐项求导若函数项级数在区间上满足：1）在区间上收敛；2）在区间上有连续的导数；3）在区间上一致收敛（或在的任意内闭子区间上一致收敛）；11则在上可微，且例26证明：在内收敛，但不一致收敛．而和函数在内可微．证　　，　　且收敛，所以在内收敛．　

4、，当时，在内级数通项　　即在内不一致收敛．　在内连续，　在内连续．，有　而　收敛，所以　在上一致收敛，在内内闭一致收敛．故内可微，且　　例27证明：11在内一致收敛．但．证．故有　　　　　　　，，当时，对有　　　于是　于　．　　　　因此两个极限不相等．4．逐项积分与积分号下取极限1）若（i）在区间上一致收敛；（ii）在区间上连续；则．2）若不满足逐项积分的定理时，要证明：则关键在于检验是否有．11其中　　为级数的余和．　3）积分号下取极限若函数列在上一致收敛，且每一个在上连续，则．例28设在上连续．又对中任意的和正整数，有其中为常数．求证：．

5、证　在上连续，必一致连续．，，当，时，有．取充分大，使得．将等分：由已知条件　由中值定理，　使得于是　，必属于某一个小区间．故于上，于是有于上，且在上连续．11所以，可在积分号下取极限，得例29证明：数列在闭区间上收敛而不一致收敛，但证　先证在上收敛．　当时，对，有　当时，因此，，再证在上不一致收敛．取满足：　取　，就有　　　　　　　　　　　　　　　所以，当足够大时，　．因此，在上不一致收敛．而　　　　　　　11　　　　例30设及在上有界，可积，且，当时，于上．试证：．分析已知．因此要证明　　．只需证明　　　．即证　　　　．将积分拆成两项　　

6、　　，可见当充分小时，第一项能任意小．将固定，于上，所以，当充分大时，第二项能任意小．证　　，，，当时　　　　　因此　　　　　其中　．11，，当时，又在上，，，当时，有　　取　，当时，有．即　．例31试证级数在上不一致收敛，但在上可逐项积分．证　　当时，　时，　时，　为等比级数，其和函数　　　　　　而在上连续所以该级数在上非一致收敛．　证明能逐项积分11其中　，　．且在内连续，所以在上有界．　，使得　故　从而　　　　　　　　　　　　所以　　级数可以逐项积分．11