2010年天津市大学数学竞赛试题参考答案

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1、2010年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每小题3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1.设，则。2.已知的一个原函数为，则。3.1。4.设a，b为非零向量，且满足（a+3b）⊥（7a–5b），（a–4b）⊥（7a–2b），则a与b的夹角为。5.根据美国1996年发布的《美国能源报告》原油消耗量的估计公式为（单位：十亿桶/年）：，式中t的原点取为2000年1月。如果实测模型为：，则自1995年至2015年共节省原油12亿桶。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你

2、认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1.设函数其中是有界函数，则在点处（C）。（A）极限不存在；（B）极限存在，但不连续；（C）连续但不可导；（D）可导。2.设曲线的极坐标方程为，则在其上对应于点处的切线的直角坐标方程为（A）。（A）；（B）；（C）；（D）。3.设函数连续，则（D）。（A）；（B）；（C）；（D）。4.设为一函数的全微分，则下面正确的答案为（C）。（A）；（B）；（C）；（D）。5.设曲面，并取上侧为正，则不等于零的曲面积分为：（B）。（A）；（B）；（C）；（D）。

3、三、计算。（本题7分）解：先求。令，当时，，则从而四、设，求。（本题6分）解：，即。（※）等式（※）两边再对x求2阶导数得：，令，得。等式（※）两边对x求4阶导数得：，令，得。五、对k的不同取值，分别讨论方程在区间内根的个数。（本题7分）解：设，，，⑴当时，，即在上单调增加，又，故原方程在区间内无根；⑵当时：，，单调减少；，，单调增加。所以是的极小值点，极小值。于是，当，即时，原方程在区间内无根；当，即时，原方程在区间内有唯一的根；当，即时，原方程在区间内有两个根。六、设a，b均为常数且，，问a，b为何值时，有。（本题7分）解：因为极限

4、存在，故必有，即。所以有。由题意得，即。七、设，，证明：存在并求其值。（本题8分）证明：因为，所以与的符号相同，且类似可得与同号。而，于是①当时，有，即数列单调增加；②当时，也有，数列单调增加；③当时，有，数列单调减少；④当时，。又，即与同号。所以，当时，或时，，即数列有上界，此时数列单调增加且有上界，收敛。当时，，数列有下界，此时数列单调减少且有下界，收敛。当时，，常数数列显然收敛。综上所述，存在，设其值为A，故，有，，得A=4（A=－3舍去，因）。八、设是区间上的函数，且，，证明：，。（本题7分）证明：对，的泰勒公式为：，。当时，分

5、别有，；，。两式相减得，故而，故，。（附：若取，，则，。显然，）。九、设是由所确定的二元函数，求：，。（本题6分）解：将等式两边分别对x，y求偏导数：，。，。。。十、求，其中曲线L是位于上半平面，从点到的部分。（本题7分）解：，，，即积分与路径无关。但因在点处与无定义，故应选积分路径：从到再到最后到的折线段。于是十一、计算，其中Σ为由曲面与所围成的封闭曲面的外侧。（本题7分）解：对右端的第一个积分使用高斯公式其中Ω是Σ所围的空间区域，Ω1是Ω位于第1卦限的部分。对于右端的第二个积分，其中Σ1是平面上的部分上侧，显然。Σ2是的外侧，，所以

6、。十二、在曲面上求一点P，使该曲面在P点处的切平面与曲面之间并被圆柱面所围空间区域的体积最小。（本题8分）解：因为，其中和分别是以曲面和P点处的切平面为顶，以为底，以圆柱面为侧面的区域的体积，且是常数，所以求的最小值可转化为求的最大值。设点P的坐标为，则曲面在该点处的法向量为，切平面方程为又，故切平面方程为。于是其中。利用极坐标计算即。由解得唯一驻点为，。对应的。又当为区域D边界上的点时，有，即，所以恒为常数。可知只在区域D的内部取到最大值。而点（1,0）是D内的唯一驻点，故在此唯一驻点处的值是最大值。此时切点P的坐标为所求。切平面方程

7、为，最小体积为。