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《解题方法:巧用角平分线解题》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、巧用角平分线解题1.显“距离”,用性质很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身(过角平分线上的一点向角的两边作垂线段)例:三角形的三条角平分线交于一点,你知道这是为什么吗?分析:我们知道两条直线是交于一点的,因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点.已知:如图,△ABC的角平分线AD与BE交于点I,求证:点I在∠ACB的平分线上.证明:过点I作IH⊥AB、IG⊥AC、IF⊥BC,垂足分别是点H、G、F.∵点I在∠BAC
2、的角平分线AD上,且IH⊥AB、IG⊥AC∴IH=IG(角平分线上的点到角的两边距离相等)同理IH=IF∴IG=IF(等量代换)[来源:学,科,网]又IG⊥AC、IF⊥BC∴点I在∠ACB的平分线上(到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上).即:三角形的三条角平分线交于一点.【例2】已知:如图,PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线,它们交于点P,PD⊥BM于D,PF⊥BN于F.求证:BP为∠MBN的平分线.【分析】要证BP为∠MBN的平分线,只需证PD=PF,而PA、PC为外角平分线,故可过P作PE⊥
3、AC于E.根据角平分线性质定理有PD=PE,PF=PE,则有PD=PF,故问题得证.【证明】过P作PE⊥AC于E.∵PA、PC分别为∠MAC与∠NCA的平分线.且PD⊥BM,PF⊥BN∴PD=PE,PF=PE,∴PD=PF又∵PD⊥BM,PF⊥BN,∴点P在∠MBN的平分线上,即BP是∠MBN的平分线.2.构距离,造全等有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线,根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题.例3.△ABC中,∠C=90°,AC=BC,DA平分∠CAB交BC于D点,问能否在AB上确
4、定一点E使△BDE的周长等于AB的长.请说明理由.解:过D作DE⊥AB,交AB于E点,则E点即可满足要求.因为∠C=90°,AC=BC,又DE⊥AB,∴DE=EB.∵AD平分∠CAB且CD⊥AC、ED⊥AB,∴CD=DE.由“HL”可证Rt△ACD≌Rt△AED.∴AC=AE.∴L△BDE=BD+DE+EB=BD+DC+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB.例4.如图,∠B=∠C=90°,M是BC上一点,且DM平分∠ADC,AM平分∠DAB.[来源:学*科*网Z*X*X*K]求证:AD=CD+AB.证明:过M作ME⊥A
5、D,交AD于E.∵DM平分∠ADC,∠C=90°.[来源:学科网]MC=ME.根据“HL”可以证得Rt△MCD≌Rt△MED,∴CD=ED.同理可得AB=AE.∴CD+AB=ED+AE=AD.即AD=CD+AB.3.巧翻折,造全等以角平分线为对称轴,构造两三角形全等.即在角两边截取相等的线段,构造全等三角形.例5.如图,已知△ABC中∠BAC=90°,AB=AC,CD垂直于∠ABC的平分线BD于D,BD交AC于E,求证:BE=2CD.分析:要证BE=2CD,想到要构造等于2CD的线段,结合角平分线,利用翻折的方法把△CBD沿BD
6、翻折,使BC重叠到BA所在的直线上,即构造全等三角形(△BCD≌△BFD),然后证明BE和CF(2CD)所在的三角形全等.证明:延长BA、CD交于点F∵BD⊥CF(已知)∴∠BDC=∠BDF=90°∵BD平分∠ABC(已知)∴∠1=∠2在△BCD和△BFD中∴△BCD≌△BFD(ASA)∴CD=FD,即CF=2CD∵∠5=∠4=90°,∠BDF=90°∴∠3+∠F=90°,∠1+∠F=90°。∴∠1=∠3。在△ABE和△ACF中∴△ABE≌△ACF(ASA)∴BE=CF,∴BE=2CD。例6.如图,已知AC∥BD、EA、EB分别
7、平分∠CAB和△DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?请说明理由.【分析】要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法.1.可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段,然后证明剩余的线段与另一条线段相等.(割)2.把一个三角形移到另一位置,使两线段补成一条线段,再证明它与长线段相等.(补)证法一:如图(1)在AB上截取AF=AC,连结EF.在△ACE和△AFE中∴△ACE≌△AFE(SAS)∵,∴,又,∴∠6=∠D在△EFB和△BDE中[来源:学科网ZXXK]∴△EFB≌△EDB(AAS)∴FB=DB∴AC+BD=A
8、F+FB=AB证法二:如图(2),延长BE,与AC的延长线相交于点F∠F=∠3在△AEF和△AEB中[来源:学,科,网]∴△AEF≌△AEB(AAS),∴AB=AF,BE=FE在△BED和△FEC中∴△BED≌△FEC(ASA)∴BD=FC,∴AB=AF=AC+