巧用三角函数线解题

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1、巧用三角函数线解题江西省南康中学刘光训邮编：341400[摘要]数学家认为：“三角学其实就是三角形的解析几何，它是整个解析几何的基础所在，也是用解析法系统研究几何的基础工具。”三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律．要深入理解应用单位圆求解三角不等式的方法的实质，培养数形结合的意识．三角函数线的主要作用是求函数的定义域、解不等式、证明简单三角不等式等．解三角函数的有关题目经常用到数形结合的思想方法,而三角函数线又

2、是三角函数的“形”的重要体现形式,单位圆结合三角函数线，是研究三角函数的一种重要工具，恰当地利用它往往可以快速解题，在此介绍几方面的应用以飨读者。OxAB1y-1一、利用三角函数线解三角不等式。例1：已知解：如图所示，解题步骤如下(1)作平面直角坐标系(2)作单位圆，(3)标出终边落在坐标轴的四个正弦函数值，(4)找出在内的值，即，图中为OA是的终边、OB是的终边。(点A、B即为直线与单位圆的两个交点)(5)根据正弦函数的单调性，找出在内的取值范围，即，图中为阴影部分。(6)写出在R上所求的取值范围：-1BAOyx【评注】

3、解三角函数不等式要把三角函数线和三角函数的单调性结合起来，一般先求内的取值范围，在根据周期性写出R上所求的范围。例2:已知,求的取值范围。解：由得接下来的解题步骤与例1相似，OA是的终边，OB是的终1边，即的终边，所以的取值范围是图中的阴影部分，即，【评注】（1）如果角的取值范围跨越轴的正半轴，则通常用负角表示范围。（2）类似这种题用三角函数线的方法解更具优越性。二、利用三角函数线证明三角不等式。xOyA已知，用单位圆证明角的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于1。即证明不等式成立。证明：作平面直角坐标系和作单位圆。（1）当角

4、的终边落在坐标轴时,不妨设为轴,设它交单位圆于A,如图,显然PAOBxy(2)当角的终边不是坐标轴,不妨设为,设它交单位圆于A,过A作AB轴于B,如图所示,则。在三角形OAB中,

5、BA

6、+

7、OB

8、>

9、OA

10、=1所以成立。综上所述：三、利用三角函数线比较大小例1：已知，求证：。,若在单位圆中作出正弦线、正切线及弧段，借助几何直观图，建立面积不等式，就能比较容易地获得结论。分析：这是一个超越不等式，直接利用代数方法很难得证证明：如图所示，的终边交单位圆于P，过P作PM轴于M，过轴与单位圆的交点A作单位圆的切线AT，交的终边于T

11、，连接AP，则有：MP=，AT=，。∵，∴,∵。【评注】此题巧妙地利用三角函数线和三角形、扇形的面积公式证明了结论，很值得我们讨论，对于“当时，有”这个结论，也是我们在三角函数判断中常用的结论。PxMyOAT例2：的大小关系是（）A：B：C：D：分析：如图，∵，∴∴应选择D。从上面的几个典型题目可以看出，利用单位圆中的三角函数线解决三角不等式的问题十分简便，是数形结合思想的重要体现，所以我们应该重点掌握好它，并在解题中应用自如。