解题方法：构造角平分线借助其性质解题

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1、构造角平分线借助其性质解题在解决三角形的问题中，如果已知条件中涉及到角的平分线，我们则可以考虑利用角的平分线的性质解题.现举例如下.一、证明线段相等例1如图1，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC.分析：根据已知可知AD是∠BAC的平分线，可通过点D作∠BAC的垂线，根据角平分线的性质，结合三角形的面积进行证明.证明：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.因为DA为∠BAC的平分线，所以DE=DF.又因为AD平分BC，所以BD=CD，所以S△ABD=S△AC

2、D，又S△ABD=AB·DE，S△ACD=AC·DF，所以AB·DE=AC·DF，所以AB=AC.图1图2[来源:学科网ZXXK][来源:学.科.网]二、证明两角的和等于180°.[来源:学&科&网Z&X&X&K]例2已知，如图2，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD.求证:∠B+∠D=180°.分析:因为AC是∠BAD的平分线,所以可过点C作∠BAD的两边的垂线,构造直角三角形,通过证明三角形全等解决问题.证明:作CE⊥AB于E,CF⊥AD于F.因为AC平分∠BAD,所以CE=CF.在△CB

3、E和△CDF中,因为CE=CF,CB=CD,所以Rt△CBE≌Rt△CDF,所以∠B=∠1,因为∠1+∠ADC=180°,所以∠B+∠ADC=180°,即∠B+∠D=180°.三、证明角相等例3如图3，在△ABC中，PB、PC分别是∠ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2分析：要证明AP是∠BAC的平分线，需要证明点P到∠BAC两边的距离相等，可作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，易证PE=PH，PH=PG，从而PE=PG.证明；过点P作PE⊥AB于点E，PG⊥AC于点G，PH⊥BC于点H.因为

4、P在∠EBC的平分线上，PE⊥AB，PH⊥BC，所以PE=PH，同理可证PH=PG，所以PG=PE，又PE⊥AB，PG⊥AC，所以PA是∠BAC的平分线.所以∠1=∠2.图3图4四、证明角的平分线例4如图4，DA⊥AB，CB⊥AB，P是AB的中点，PD平分∠ADC.求证：CP平分∠DCB.分析：因为DA⊥AB，PD平分∠ADC，所以可过点P作PE⊥AC，利用角平分线的性质得到PE=PA，进而可得到PE=PB.证明：过点P作PE⊥DC，垂足于E，因为PD平分∠ADC，PA⊥AD，所以PA=PE，因为

5、P为AB的中点，所以PA=PB，所以PE=PB，因为CB⊥BP，CE⊥PE，所以CP平分∠DCB五、求角的度数例5如图5，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB，D是AC上一点，若∠CBD=20°，求∠ADE的度数.分析：由于CE平分∠ACB，可过点E作∠ACB的两边的垂线，通过证明DE是∠ADB的平分线解决问题.解：作EN⊥CA，EM⊥BD，EP⊥CB，垂足分别是N、M、P.因为∠ABD=∠ABC-∠CBD=100°-20°=80°，∠PBA=180°-100°=8

6、0°，所以∠PBA=∠ABD，因为EM⊥BD于M，EP⊥CB于P，所以EP=EM，又CE平分∠ACB，EN⊥CA，EP⊥CB，所以EN=EP，[来源:学科网]所以EN=EM，所以ED平分∠ADB，所以∠ADE=∠ADB=×40°=20°.图5[来源:学科网ZXXK]