解题方法:构造角平分线借助其性质解题

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1、构造角平分线借助其性质解题在解决三角形的问题中,如果已知条件中涉及到角的平分线,我们则可以考虑利用角的平分线的性质解题.现举例如下.一、证明线段相等例1如图1,在△ABC中,∠BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC.分析:根据已知可知AD是∠BAC的平分线,可通过点D作∠BAC的垂线,根据角平分线的性质,结合三角形的面积进行证明.证明:过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F.因为DA为∠BAC的平分线,所以DE=DF.又因为AD平分BC,所以BD=CD,所以S△ABD=S△ACD,又S△ABD=AB·DE,S△ACD=AC·DF,所以AB·DE=AC·

2、DF,所以AB=AC.图1图2[来源:学科网ZXXK][来源:学.科.网]二、证明两角的和等于180°.[来源:学&科&网Z&X&X&K]例2已知,如图2,AC平分∠BAD,CD=CB,AB>AD.求证:∠B+∠D=180°.分析:因为AC是∠BAD的平分线,所以可过点C作∠BAD的两边的垂线,构造直角三角形,通过证明三角形全等解决问题.证明:作CE⊥AB于E,CF⊥AD于F.因为AC平分∠BAD,所以CE=CF.在△CBE和△CDF中,因为CE=CF,CB=CD,所以Rt△CBE≌Rt△CDF,所以∠B=∠1,因为∠1+∠ADC=180°,所以∠B+∠ADC=180°,

3、即∠B+∠D=180°.三、证明角相等例3如图3,在△ABC中,PB、PC分别是∠ABC的外角的平分线,求证:∠1=∠2分析:要证明AP是∠BAC的平分线,需要证明点P到∠BAC两边的距离相等,可作PE⊥AB,PG⊥AC,PH⊥BC,易证PE=PH,PH=PG,从而PE=PG.证明;过点P作PE⊥AB于点E,PG⊥AC于点G,PH⊥BC于点H.因为P在∠EBC的平分线上,PE⊥AB,PH⊥BC,所以PE=PH,同理可证PH=PG,所以PG=PE,又PE⊥AB,PG⊥AC,所以PA是∠BAC的平分线.所以∠1=∠2.图3图4四、证明角的平分线例4如图4,DA⊥AB,CB⊥A

4、B,P是AB的中点,PD平分∠ADC.求证:CP平分∠DCB.分析:因为DA⊥AB,PD平分∠ADC,所以可过点P作PE⊥AC,利用角平分线的性质得到PE=PA,进而可得到PE=PB.证明:过点P作PE⊥DC,垂足于E,因为PD平分∠ADC,PA⊥AD,所以PA=PE,因为P为AB的中点,所以PA=PB,所以PE=PB,因为CB⊥BP,CE⊥PE,所以CP平分∠DCB五、求角的度数例5如图5,在△ABC中,∠ABC=100°,∠ACB=20°,CE平分∠ACB,D是AC上一点,若∠CBD=20°,求∠ADE的度数.分析:由于CE平分∠ACB,可过点E作∠ACB的两边的垂线

5、,通过证明DE是∠ADB的平分线解决问题.解:作EN⊥CA,EM⊥BD,EP⊥CB,垂足分别是N、M、P.因为∠ABD=∠ABC-∠CBD=100°-20°=80°,∠PBA=180°-100°=80°,所以∠PBA=∠ABD,因为EM⊥BD于M,EP⊥CB于P,所以EP=EM,又CE平分∠ACB,EN⊥CA,EP⊥CB,所以EN=EP,[来源:学科网]所以EN=EM,所以ED平分∠ADB,所以∠ADE=∠ADB=×40°=20°.图5[来源:学科网ZXXK]

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