2009-2010-2高数答案

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1、河南理工大学2009-2010学年第2学期《高等数学2》参考答案与评分标准一、选择题（每题5分，共25分）1、函数在点处（）.(A)连续，且偏导函数都存在；(B)不连续，但偏导函数都存在；(C)不连续，且偏导函数都不存在；(D)连续，且偏导函数都不存在。应选择B。事实上，当点沿直线趋向于原点时，极限，与值有关，即点沿不同方向的直线趋向于原点时极限不同，所以二重极限不存在，从而也不连续。关于偏导数，由于，所以函数关于的偏导数存在，且为。同样，由函数的对称性可知，函数关于的偏导数也存在，且为。综合上述，在点处不连续，但偏导函数都存在，故应选择B项。

2、2、设向量，，满足关系式，则（）。(A)必有；(B)当时，必有；(C)必有；(D)当时,必有(其中为常数)。应选择D。事实上，由得说明与平行。又由于，可知，从而存在常数使得。综合上述，应选择D项。3、设在区域上连续，则二重积分表示成极坐标系下的二次积分的形式为（）。(A)；(B)；(C)；(D)。应选择D。事实上，圆域通过极坐标变换化为，及。由知，所以区域用极坐标表示就为，从而二重积分为==，所以应选择D项。4、幂级数在处条件收敛，则幂级数的收敛半径为（）。(A)1；(B)3；(C)4；(D)5。应选择C。事实上，令，由于幂级数在处条件收敛，则

3、幂级数在处条件收敛。由Abel定理可知，幂级数在内收敛，在内发散，从而得收敛半径为。故应选择C项。5、函数（其中，是任意常数）是微分方程的（）。(A)通解；(B)特解；(C)不是解；(D)是解，不是通解，也不是特解。应选择D。2阶常系数齐次微分方程的特征方程为，特征值为和，所以其通解为，（其中，是任意常数）。而（其中是任意常数），所以是微分方程的解，但不是通解，显然也不是特解。故应选择D项。二、填空题（每题5分，共25分）1、设函数，则函数的全微分。应填写。因为，，所以。2、函数在点处沿方向的方向导数为，其中为坐标原点。应填写。因为，与同方向的

4、单位向量为。而函数在任意一点的梯度为于是函数在的梯度为，从而函数在沿的方向导数为。3、曲面在点处的切平面方程为。应填写。因为由曲面方程的，于是，，所以在点处，偏导数有，，从而曲面在点处的法向量为，于是切平面方程为，即。4、曲线积分（其中是圆周：）的值为。应填写。因为圆周：得参数方程为（），所以，于是曲线积分。5、设的正弦级数展开式为，设和函数为，则为0。应填写0。因为的奇延拓（记为）为周期为，而为的级数，所以。三、计算下列各题（每题6分，共36分）1、求直线与直线的夹角的余弦。解：平面的法向量为，平面的法向量为，于是直线的方向向量为………………

5、………………….3分而直线的方向向量为，于是两直线的夹角的余弦为。……..6分2、设函数，其中具有二阶连续偏导数，求，。解：……………………………………………………………2分……………………………4分………………………6分3、求函数的极值，并判断是极大值或极小值。解：由得令……………………………………………2分有，，得唯一驻点…………………………………3分而，，，在驻点处，，，于是在处，……………………5分又，所以函数在处取得极小值，极小值为。……………………………………………………6分4、计算曲面积分，其中为锥面（）。解：锥面：（）在面上的投

6、影区域为由曲面方程得，，，……………2分从而，…3分于是=。……………………………………………………………6分5、确定的值，使曲线积分与路径无关，并求，分别为，时曲线积分的值。解：记，，故，，………………2分欲使曲线积分与路径无关必需且只需，解得。………………………………………………………………………………4分当，分别为，，由于曲线积分与路径无关，所以可选折线积分，有。……………………6分6、计算三重积分，其中是由曲面与平面，和所围成的闭区域。解：………………………………………………………………2分……………………………………………………………

7、………4分。………………………………………………………………………6分四、计算下列各题（每题7分，共14分）7、求，其中为锥面（）的外侧。解：作曲面,，朝上，则………………………………………………………………………………………………3分由,，朝上有…………………………………………………………………………………………6分故。………………………………………………………………………………………7分8、求方程的通解。解：特征方程为，则特征根为，因此齐次方程通解为。…………………………2分由于，而其指数函数部分中的指数系数为齐次方程的特征根，所以非齐次一

8、个特解可以设为，于是代入方程原方程，有，化简整理得，可得，…………………………6分故方程的通解为…………7分