《工程高等代数》7第七章线性空间与线性变换习题解答

《《工程高等代数》7第七章线性空间与线性变换习题解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、习题七A组1．填空题（1）向量组生成的向量空间的维数是　　　　．解　．（2）设全体三阶上三角形矩阵构成的线性空间为，则它的维数是　　　　．　解　．（3）次数不超过的多项式的全体构成线性空间，其中的元素在基下的坐标是　　　　．　　　　解．　（4）设是向量空间的一个基，则向量在该基下的坐标是　　　　．　　解．　（5）二维向量空间中从基到另一个基的过渡矩阵是　　　　．解．　（6）三维向量空间中的线性变换在标准基，，下对应的矩阵是　　　　．解．2.选择题（1）下列说法中正确的是　　　　．（A）任何线性空间中一定含有零向量

2、；（B）由个向量生成的子空间一定是维的；（C）次数为的全体多项式对于多项式的加法和数乘构成线性空间；16（D）在维向量空间中，所有分量等于的全体向量的集合构成的子空间．（2）下列说法中错误的是　　　　．（A）若向量空间中任何向量都可以由向量组线性表示，则是的一个基；（B）若维向量空间中任何向量都可以由向量组线性表示，则是的一个基；（C）若维向量空间中任何向量都可以由向量组线性表示，则不是的一个基；（D）维向量空间的任一个基必定含有个向量．（3）下列维向量的集合中，　　　　是的子空间．　（A）；　（B）；　（C）；

3、（D）.（4）在中，下列向量集合构成子空间的是　　　　．（A）组成的集合；（B）组成的集合；（C）所有形如的向量组成的集合；（D）满足的所有组成的集合．（5）的下列变换　　　　不是线性变换．（A）；（B），是实数；（C）；（D）．解（1）A;（2）A;（3）C;（4）B；（5）C．3．验证：（1）主对角线上元素之和等于的阶矩阵的全体；16（2）阶对称矩阵的全体，对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间，并写出每个空间的一个基．解　(1)任取，，其中表示任意实数，则对于任意的，有线性运算的封闭性成立：．的一个基是．(2

4、)任取，对于任意的，都满足运算成立：．的一个基是．　　4．验证：与向量不平行的全体维数组向量，对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间．证明　与向量不平行的全体维数组向量的集合记作，，但，所以不是线性空间．　　5．设是线性空间的一个子空间，证明：若与的维数相等，则．　　证明　设是的一个基，因为，所以．对于任意的，必定可被线性表示，否则与“与的维数相等”矛盾．由的任意性知，从而．6.判断的下列子集是否构成子空间，说明理由．(1)；(2)．解(1)不构成．由于16　但　，即对矩阵加法不封闭．(2)构成．任取，有，．

5、于是，．对任意，，，所以．对矩阵加法和数乘运算封闭，所以构成子空间．7.判断的下列子集是否构成子空间，说明理由．（1）由所有行列式为零的矩阵所组成的集合；（2）由所有满足的矩阵组成的集合．解　(1)不构成．取，，但是因此，加法不封闭．(2)不构成．取单位矩阵，，，但，所以，数乘不封闭．　　8.在中求向量在基下的坐标．　　解　设所求坐标为，则16，解得．　　9．中两个基为；，求由基到基的过渡矩阵．　　解　设，则．　　10．在中，取两个基；，　　（1）求由基到基的过渡矩阵；　　（2）已知由基到基的过渡矩阵为，求；　　

6、（3）已知在基下的坐标为，求在基下的坐标．解　（1）因为，所以基到基的过渡矩阵为．16　　（2）由于，故．　　（3）设在基下的坐标为，则有，又　，从而．11．在中取两个基　　（1）求前一个基到后一个基的过渡矩阵；　　（2）求向量在后一个基下的坐标；　　（3）求在两个基下有相同坐标的向量．　解　(1)因为，所以前一个基到后一个基的过渡矩阵为．(2)设向量在后一个基下的坐标为，则16，所以，．(3)设向量在两个基下有相同的坐标，则，，所以，解得．12．说明平面上变换的几何意义，其中　　(1)；　　(2)；　　(3)；

7、　　　　(4)．解　(1)，关于轴对称；(2)，投影到轴；(3)，关于直线对称；(4)，顺时针旋转．1613．阶对称矩阵的全体对于矩阵的线性运算构成一个维线性空间．给定阶矩阵，以表示中的任一元素，变换称为合同变换．证明合同变换是中的线性变换．证明　设，，则，所以，．从而与是对称矩阵．又因为，，所以是中的线性变换．　　14．设中是一个基，且线性变换在此基下的矩阵为，　　（1）证明也是的一个基；　　（2）求线性变换在此基下的矩阵．证明（1）令，可解得，，这说明了和可以相互线性表示，从而它们等价，所以是的一个基．（2）

8、设线性变换在基下的矩阵是，并设从基到基的过渡矩阵是，则，由条件知，得，从而．15．函数集合对于函数的线性运算构成三维线性空间．在中取一个基，求微分运算在这个基下的矩阵．　　解　因为，16，，所以微分运算在这个基下的矩阵为．16．二阶对称矩阵的全体对于矩阵的线性运算构成三维线性空间．在中取一个基，在中定义合同变换，求在基下的矩阵．解　因为，，，，所以在基下的矩阵为．17．设