正整数n的m-分拆及其应用

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1、万方数据2000年6月June，2000应用数学与计算数学学报COMM．ONAPPL．MATH．ANDCoMPUT第14卷第1期Vbl．14No．1正整数他的m一分拆及其应用王立欣(军械3-程学院管理工程系，石家庄，050011)何文杰于新凯申玉发米洪海(河北工业大学应用数学系，天津，300130)摘要本文引入了两个新概念，正整数n的m一分拆和正整数n的真m一分拆．通过研究我们发现，礼的分拆恰好是n的m一分拆的一个特例．而n的真m一分拆在二分图的(整)和图研究中有实际应用[8]．关键词：正整数％的分拆，正整数礼的m一分拆，正整数n的真

2、m一分拆．1．引言人们很早就开始研究正整数的分拆[1】-[4】．所谓正整数佗的分拆，就是把正整数n表示成若干个正整数之和．把正整数n恰好表示成k个正整数之和的分拆称为n的一个k部分拆．在这方面有众所周知的定理1，定理2和定理311]一【4]．⋯1、定理1正整数n的k部有序分拆的个数是(”1)．、k一17以下分拆均指无序分拆．这样正整数n的每一个k部分拆可唯一确定地表示为如下规范形式：n=nl+n2+⋯+nk，其中1≤n1≤n2≤⋯Snk，此分拆可简记为(札。，n。，⋯，nk)．每个被加数吼称为此分拆的一个分部．n的k部分拆的个数记为m

3、(n)；n的所有分拆的个数记为p(佗)，即p(n)=∑m(n)，p(佗)称为n的分拆数．南=1显然，我们知道pi(n)=P。一l(n)=P。(札)=1，p2(n)=[量】([口]表示不大于a的最大的整数)．定理2(1)pk(n)=Pk一1(礼)+pk(n一七)；(2)m(n+k)=P1(n)+P2(佗)+⋯+p‘(n)，即n+k的k部分拆个数等于n的至多有k个分部的分拆个数．利用定理2，原则上可以对n从小到大逐步得到pk(n)的值．人们最感兴趣的是分拆数p(礼)．历史上Euler最早使用生成函数来研究正整数分拆的性质．本文1999年1

4、2月28日收到万方数据32应用数学与计算数学学报定理3(Euler公式)对于n≥3，p(n)有递推公式p(n)=p(n一1)+p(n一2)一p(n一5)一p(仡一7)+⋯：塞(_1)¨0(n—T3k2-k)+p(礼一学))和式中规定当m<0时p(m)=0．本文拓广正整数的分拆的定义引入了正整数n的m一分拆并讨论了它的有趣的性质以及在整和图中的应用．2。正整数n的m一分拆现在我们引进一个新定义．设m，佗为任蒽正整数且m≤扎．正整数佗的一个分拆被称作正整数n的一个m一分拆，如果它满足下列两个条件：(1)n=nl+n2+⋯+nk；(2)n1

5、≥1，ni≥ni一1+m(i=2，3，⋯，七)．以下如无特别声明均简记为n的m一分拆．n的一个恰好有惫个分部的m一分拆称为n的一个忌部m一分拆．记n的m一分拆的个数为p(n，m)；几的惫部m一分拆的个数为Pk(竹，m)．例如，(2，5)是7的一个3一分拆．10的所有2一分拆为(10)，(1，9)，(2，8)，(3，7)，(4，6)，(1，3，6)，于是p1(10，2)=1，p2(10，2)=4，p3(10，2)=1，p(10，2)=6．引理1对任意给定的正整数n，m(m≤礼)，pt(礼，m)=p一(几一(：)m)．证明设(仃。，扎。，

6、⋯，礼k)为凡的一个七部m一分拆，由佗的m一分拆的定义可知，7％1，7％2--m，礼s一2m，⋯，n*一(惫一1)m)必然是礼一(：)m的一个惫一部分拆．反之，若(佗1，佗2，⋯，佗≈)为佗一(，七m的一个七一部分拆，则(佗1，佗2+m，佗3+2m，⋯，n＆十(后一1)m)、Z必然是n的一个忌部m一分拆．于是，我们推出n的南部m一分拆与n一(：)m的忌一部分拆之间存在一一对应关系．所以，pm(n，m)=pt(n一(：：)m)．口引理2对任意给定的正整数n，m(m≤几)，礼的m一分拆至多有庇。个分部，其中南。：[垃型虫锈彳坚]．证明显然

7、，(1，m+1，2m+1，⋯，(庇一1)m+1)是南十(：!：)m的一个忌部m一分拆，对于固定的m，只有当礼≥南+(：)m时，几的m一分拆才可能有尼个分部．万方数据1期王立欣等：正整数n的m一分拆及其应用33由几≥k+f局)m，即mk2一(m一2)庇一2n≤0，我f门得至0、271<庇<(竺二!!±叟(竺二!!!±璺!竺．2m记k。为最大的南，则k。=[鱼L兰Hj包蔫二迎]．口由引理1和引理2，我们可直接得到下面的定理．定理4对任意给定的正整数n，m(m≤n)，p(n，m)=m)，其中南。：『虹型土喙#迎1．由定理4和定理2，原则上我

8、们可以逐项求出p(几，m)．例如，考虑24的3一分拆，可知ko=4．则p(24，3)=1+p2(21)+pa(15)+p4(6)=1+p2(21)+p3(15)+P3(5)=1+[蛩]+19-4-2=32注意，当m=O时