2017-2018版高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2 空间向量的运算（二）学案 北师大版选修2-1

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1、2空间向量的运算（二）学习目标　1.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.2.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.知识点一　空间向量的数乘运算思考　实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？梳理　(1)实数与向量的积与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：①

2、λa

3、＝__________.②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向___

4、___；当λ＝0时，λa＝0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律：①λ(μa)＝______________；②λ(a＋b)＝____________；③(λ1＋λ2)a＝__________(拓展).知识点二　共线向量与共面向量思考1　回顾平面向量中关于向量共线的知识，给出空间中共线向量的定义.思考2　空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？10梳理　(1)平行(共线)向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相__________充要条件对空间任意两个向量a，b(b≠0)，存在实数λ，使__________点P在直线l上的充要条件存在实数t满足等式___

5、_____________，在直线l上取向量＝a，则＝＋t______向量a为直线l的____________(2)共面向量定义平行于同一个______的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使__________点P位于平面ABC内的充要条件存在有序实数对(x，y)，使＝__________对空间任一点O，有＝＋__________类型一　向量共线问题例1　如图所示，在正方体ABCD—B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线.10反思与感悟　判定向量a，b(b≠0

6、)共线，只需利用已知条件找到x，使a＝xb即可.证明点共线，只需证明对应的向量共线.跟踪训练1　如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量与＋是否共线？类型二　空间向量的数乘运算及应用例2　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3)＋.引申探究若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且＝”，其他条件不变，如何表示？　10反思与感悟　利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具

7、体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.跟踪训练2　如图，在空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，如图所示，记＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量.类型三　空间向量共面问题例3　如图所示，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使＝＝＝＝k，求证：E，F，G，H四点共面.反思与感悟　(1)利用四点共面求参数向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定

8、可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值.(2)证明空间向量共面或四点共面的方法①向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面.10②若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面.③用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.跟踪训练3　(1)已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M，满足＝＋＋，判断，，三个向量是否共面.(2)如图，已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点，且＝k，＝k，＝k，

9、＝＋m，＝＋m.求证：①A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；②∥；③＝k.1.对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是(　　)A.共面向量.共线向量C.不共面向量.既不共线也不共面的向量2.已知空间四边形ABCD，点E、F分别是AB与AD边上的点，M、N分别是BC与CD边上的点，若＝λ，＝λ，＝μ，＝μ，则向量与满足的关系为(　　)10A.＝.∥C.

10、

11、＝

12、

13、.

14、

15、≠

16、

17、3.设e1，e2是平面内不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，