版高考数学（江苏版）一轮配套讲义：§.利用导数研究函数的单调性和极大（小）值+word版含答案

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1、§9.2　利用导数研究函数的单调性和极大(小)值考纲解读考点[来源:学。科。网Z。X。X。K][来源:学科网ZXXK]内容解读要求五年高考统计[来源:Z_xx_k.Com]常考题型预测热度[来源:学科网]201320142015201620171.利用导数研究函数的单调性1.求解不等式2.研究函数基本性质B19题16分填空题解答题★★★2.利用导数研究函数的极值和最值1.研究函数零点2.研究函数基本性质B20题16分填空题解答题★★★分析解读　　利用导数研究函数的单调性和极大(小)值是江苏高考必考内容,主要在压轴

2、题位置,重点考查等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程思想,对分析问题的能力要求较高.五年高考考点一　利用导数研究函数的单调性1.(2017山东文改编,10,5分)若函数exf(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是　　　　. ①f(x)=2-x;②f(x)=x2;③f(x)=3-x;④f(x)=cosx.答案　①2.(2016课标全国Ⅰ改编,12,5分)若函数f(x)=x-13sin2x+asinx在(-∞,+∞)单调递增

3、,则a的取值范围是　　　　. 答案　-13,133.(2017课标全国Ⅱ文,21,12分)设函数f(x)=(1-x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.解析　(1)f'(x)=(1-2x-x2)ex.令f'(x)=0,得x=-1-2或x=-1+2.当x∈(-∞,-1-2)时,f'(x)<0;当x∈(-1-2,-1+2)时,f'(x)>0;当x∈(-1+2,+∞)时,f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,-1-2),(-1+2,+∞)上单调递减,在(-1-2,-

4、1+2)上单调递增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h'(x)=-xex<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)上单调递减,而h(0)=1,故h(x)≤1,所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.当00(x>0),所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,而g(0)=0,故ex≥x+1.当0(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x

5、2),取x0=5-4a-12,则x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1.当a≤0时,取x0=5-12,则x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1.综上,a的取值范围是[1,+∞).4.(2017山东文,20,13分)已知函数f(x)=13x3-12ax2,a∈R.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值

6、时求出极值.解析　(1)由题意f'(x)=x2-ax,所以当a=2时,f(3)=0,f'(x)=x2-2x,所以f'(3)=3,因此,曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,所以g'(x)=f'(x)+cosx-(x-a)sinx-cosx=x(x-a)-(x-a)sinx=(x-a)(x-sinx),令h(x)=x-sinx,则h'(x)=1-cosx≥0,所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)=0,所

7、以当x>0时,h(x)>0;当x<0时,h(x)<0.①当a<0时,g'(x)=(x-a)(x-sinx),当x∈(-∞,a)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(a,0)时,x-a>0,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以当x=a时,g(x)取到极大值,极大值是g(a)=-16a3-sina,当x=0时,g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.②当a=0时,g'(x)=x(x-sinx),当x∈(-∞,+∞)时,g'(

8、x)≥0,g(x)单调递增;所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.③当a>0时,g'(x)=(x-a)(x-sinx),当x∈(-∞,0)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(0,a)时,x-a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以当x=0时,g(x