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《§3_2 利用导数研究函数的单调性和极大(小)值.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§3.2 利用导数研究函数的单调性和极大(小)值高考数学(江苏省专用)1.(2018江苏,11,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为.A组 自主命题·江苏卷题组五年高考答案-32解析本题考查利用导数研究函数的极值和最值.∵f(x)=2x3-ax2+1,∴f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).若a≤0,则x>0时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,又f(0)=1,∴f(x)在(0,+∞)上没有零点,∴a>0.当0时,f'(
2、x)>0,f(x)为增函数,∴x>0时,f(x)有极小值,为f=-+1.∵f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,∴f=0,∴a=3.∴f(x)=2x3-3x2+1,则f'(x)=6x(x-1).令f'(x)=0,得x=0或x=1.3x-1(-1,0)0(0,1)1f'(x)+-f(x)-4增1减0∴f(x)在[-1,1]上的最大值为1,最小值为-4.∴最大值与最小值的和为-3.42.(2017江苏,11,5分)已知函数f(x)=x3-2x+ex-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是.答案解析本题考查用导数研究函数单调性、函数单调性的应用.易知函
3、数f(x)的定义域关于原点对称.∵f(x)=x3-2x+ex-,∴f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x-=-x3+2x+-ex=-f(x),∴f(x)为奇函数,又f'(x)=3x2-2+ex+≥3x2-2+2=3x2≥0(当且仅当x=0时,取“=”),从而f(x)在R上单调递增,所以f(a-1)+f(2a2)≤0⇔f(a-1)≤f(-2a2)⇔-2a2≥a-1,解得-1≤a≤.5方法小结函数不等式的求解思路:(1)转化为f(φ(x))≤f(g(x));(2)结合单调性转化为φ(x)≤g(x)或φ(x)≥g(x).3.(2017江苏,20,16分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1
4、(a>0,b∈R)有极值,且导函数f'(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b2>3a;(3)若f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-,求a的取值范围.6解析本题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.(1)由f(x)=x3+ax2+bx+1,得f'(x)=3x2+2ax+b=3+b-.当x=-时,f'(x)有极小值b-.因为f'(x)的极值点是f(x)的零点,所以f=-+-+1=0,又a>0,故b=+.因为f(x)有
5、极值,故f'(x)=0有实根,从而b-=(27-a3)≤0,即a≥3.当a=3时,f'(x)>0(x≠-1),故f(x)在R上是增函数,f(x)没有极值;当a>3时,f'(x)=0有两个相异的实根x1=,x2=.列表如下:x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗7故f(x)的极值点是x1,x2.从而a>3.因此b=+,定义域为(3,+∞).(2)证明:由(1)知,=+.设g(t)=+,则g'(t)=-=.当t∈时,g'(t)>0,从而g(t)在上单调递增.因为a>3,所以a>3,故g(a)>g(3)=,即>.因此b2>3a.(3)由(
6、1)知,f(x)的极值点是x1,x2,且x1+x2=-a,+=.从而f(x1)+f(x2)=+a+bx1+1++a+bx2+18=(3+2ax1+b)+(3+2ax2+b)+a(+)+b(x1+x2)+2=-+2=0.记f(x),f'(x)所有极值之和为h(a),因为f'(x)的极值为b-=-a2+,所以h(a)=-a2+,a>3.因为h'(a)=-a-<0,于是h(a)在(3,+∞)上单调递减.因为h(6)=-,于是h(a)≥h(6),故a≤6.因此a的取值范围为(3,6].易错警示(1)函数f(x)的极值点x0满足f'(x0)=0,函数f(x)的零点x0满足f(x0)=0,而f'(x)的
7、极值点x0应满足f″(x0)=0.(2)求函数的关系式必须确定函数的定义域.94.(2015江苏,19,16分,0.298)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪∪,求c的值.10解析(1)f'(x)=3x2+2ax,令f'(x)=0,解得x1=0,x2=
