利用导数研究函数(单调性

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1、§3.5利用导数研究函数（单调性、极值和凸性）一、与函数的单调性有关的一些结论定理3.11（单调的充分必要条件）若函数/在有限闭区间⑷切上连续，在⑺上）上可导，则/在［以］上递增（或递减）当且仅当在（以）上成立广>0（或广<0）・/(兀+力)-/(x)h证：“仅当”•假定f在［佔上递增.Vxe（6z,/7）,当Ov/ivb-兀时,有no,故fx)=lim+>o,即在(d,b)上成〃to+h立广no."当”•假定在（d,b）上成立fr>0.Vxj,x2e［a,b］,x}

2、即/在［a.b］上递x2-x}增.□定理3.12（严格单调的充分条件）若函数/在有限闭区间匕切上连续,在（d,b）上成立广>0（或广<0）,则/在［d,b］上严格递增（或严格递减）•反之，结论可能不止确.证：,x2Xj0•这说明fM>/（%.）,即/在⑺上］上严格递增.□定理3.13（严格单调的充分条件）若函数/在有限闭区间［a,b］上连续，在（说）上除去有限个点后成立广>0（或广<0）,则/在［讪上严格递增（或严格递减）•反之，结论可能不正确.证：设冇宀a

3、,（兀1，兀2），…，（无“少）上成立广>0,故/在a州］,［兀八2】，…，氐血上严格递增，从而/在［a,b］±严格递增.口定理3.14(严格单调的充分必要条件)若函数/在有限闭区间［a,b］上连续，在@,方)上可导，则f在［a,b］±严格递增(或严格递减)当且仅当同时成立(1)在(讪上有广no(或广<0)；(2)V开区间/u(a,b),广1严0・证：“仅当”•假定f在［a,b］上严格递增•定理3.11确保了(1)成立;V开区间Iu(a,b),因为/在/上不是常数，故广后0,即⑵成立.“当”•假定仃)、⑵同时成立•定理3.11确保了/在［a,b］上递增

4、,即V兀］，兀2兀］<兀2，有/(^)g,(或ff那么⑴若f(a)=g(a),则fl(a,)>gl(flfc］(或门(吶〉gl(询)；(2)若f(b)=g(b),则/Uf(a)-g(a)=0(或f(x)-g(x)>

5、f(a)-g⑷=0),故门(a*g1(询(或/U>g1(吶)•(2)Vxe［a.b),有f(x)-g(x)

6、—*xw[0,—）・□71271712二、与函数的极值有关的一些结论定理3.15（极值的充分条件）设f是开区间（d,b）上的连续函•••数，兀oW（&,/?）・那么（1）若在（6Z,x0）±成立ff>0（或广>0）,在（兀0劝上成立f<0（或广<0）,则于（兀0）是/在（Q，b）上的最大值（或严格最大值）;（2）若在心）上成立ff<0（或r<0）,在（兀°,b）上成立f>0（或广>0）,则/（x0）是/在（a,b）上的最小值（或严格最小值）.证：显然•口定理3.16（简单情形下极值的充分条件）设％是函数/的驻点，并且厂（兀0）存在，那么（1）若/7x0

7、）<0,则/（心）是/的严格极大值；（2）若/x0）>0,则/do）是/的严格极小值；⑶若厂（观）=0,则各种情形都可能出现.证：⑴O〉/"do）=lini厂（门_/（"））=lim^^，故3^>0,使得当x-xoxtxoX-Xo0<

8、x-x0时成立上亠<0・于是，在（心-兀°）上成立广〉0；在兀一兀0（兀0，兀0+5）上成立广<0・这说明f（x0）是f在（兀0—5,兀0+5）上的严格最大值，即是/的严格极大值.⑵与（1）的证明类似.⑶xx4,-x4说明各种情形都可能出现•口求有限闭区间上连续函数的最大值和最小值的方法设函数/在有限闭区间［d,b］

9、上连续，在（d,b）上可导.若/在（d,b）上只有有限个驻点兀1，兀2，・・・，£，贝Umax