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《关于幂指函数的极限与导数的求法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、目录目录0摘要1Abstract21.幂指函数的概念32.幂指函数的求极限32.1，的极限均为有限常数，即型的极限求法32.2利用重要极限42.3应用洛必达法则求极限62.4用等价无穷小72.4.1中的等价无穷小代换72.4.2中的等价无穷小代换82.4.3中的等价无穷小代换.92.5利用微分中值定理103.幂指函数的求导113.1复合函数求导法113.2对数求导法123.3多元函数求导法13总结16参考文献1717摘要本文主要讨论了幂指函数，，型极限的求法，同时对幂指函数求导法作了探索，总结出复合函数求导法，对数求导法，多元函数求导法，并给出相
2、应的例子。关键词：幂指函数；导数；极限17AbstractThispapermainlydiscussedtheexponentialfunction,andthemethodtolimittype,andtheexponentialfunctionderivationmethodofmethod,sumsupthecompositefunctionderivationmethod,logarithmicderivationmethod,multivariatefunctionderivationmethod,andgivesomeexample
3、s.Keywords:exponentialfunction;limit;derivation171.幂指函数的概念将形如的函数称为幂指函数。也就是说，它既像幂函数，又像指数函数，二者的特点兼而有之。作为幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数却是底数确定不变，而指数为自变量。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。这种函数的推广，就是广义的幂指函数。2.幂指函数的求极限幂指函数的极限类型很多，有确定型和不定式之分。不定式有型，型，型,型，型，在这里只讨论幂指函数型，型，型这三种类型不定式的求极限问题。对这三种类型不定
4、式进行全面探讨，将局限于分式型不定式的等价无穷小代换定理，无穷小比较定理和洛必达法则，微分中值定理,重要极限推广到幂指型不定式的所有类型中，从而在理论上较系统的解决了幂指型不定式极限求解问题。2.1，的极限均为有限常数，即型的极限求法定理1存在有限的极限，，且A>0,则有证明：令，由A>0，两边取对数得：从而17由复合函数求极限法则知：上述命题对，，的情况同样成立，且证明类似。但是，当A或（和）B不是有限常数，或A不大于0时，上述命题不成立。例1求极限.解：因为，由上述定理1，得：例2求极限.解：因为，由上述定理1，得：2.2利用重要极限对型未定
5、式极限问题，考虑利用重要极限及其变形公式求极限。例3求极限.解:17例4求极限.解：对于一般具有较复杂形式的型未定式极限问题，可以考虑用如下的定理简化计算过程。定理2设有连续函数和，在自变量的某个变化过程中，，，则证明：应用定理2解例（2）的解法如下：因此，应用定理2可以简化型未定式极限的计算。172.3应用洛必达法则求极限定理3[1]设（1）当时，函数及都趋于0或；（2）在点的某去心领域内，及都存在且；（3）存在（或为无穷大），那么对幂指函数的极限，可以通过将幂指函数化为对数恒等式的形式，转换为型或型不定式，然后再利用洛必达法则进行求解。例5求
6、极限.解:因为，由定理3，得：例6求极限.解：令，则当时，，那么172.4用等价无穷小2.4.1中的等价无穷小代换引理1[4]设>0，>0为某变化过程中的无穷小。若～,则.证明:～，所以，从而有定理4>0，>0和，均为某变化过程中的无穷小。若～,～,且,则有证明:因为～,所以不论哪一种情况,都有17此定理4说明,当=A时,中的和均可代换为等价无穷小和。例7求.(型)分析：因为，，即极限呈型。解:当时，，由定理4，得：2.4.2中的等价无穷小代换型的极限可写为,其中>0和均为某变化过程中的无穷小。由定理4可得定理5。定理5>0，>0和，均为某变化过
7、程中的无穷小。若～,～,且，则此定理5说明,当时，和均可代换为等价无穷小和。例8求(型)分析：因为，，即极限呈型。17解:当时，，由定理5，得：2.4.3中的等价无穷小代换.型的极限可写为,其中，均为某变化过程中的无穷小。引理2[4]设α,β为某变化过程中的无穷小。若，则有.证明:所以定理6设均为某变化过程中的无穷小。若，，且,则有证明:因为，所以17这说明,当时，中的无穷小量，可代换为等价无穷小，。例9求极限（型）.分析：因为，，即极限呈型。解：当，,时，，由定理6，得：2.5利用微分中值定理定理7[1]如果函数满足：(1)在闭区间上连续；(2
8、)在开区间内可导；那么在内至少有一点，使等式例10求极限.解：对在区间上使用定理7，得：17（其中）故，因为，而，故，所以，原式=。3.
