函数极限的求法

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1、序言极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题。数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。两类极限的本质上是相同的，在形式上数列界限是函数极限的待例。因此，本文只就函数极限进行讨论。函数极限运算是高等数学的一个重耍的基本运算，一部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”來求解，而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决。求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的。对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法。在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理以及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。本文给出了十二种求极

2、限的方法，每种方法都是以定理或简述开头，然后以例题來全面展示具体的求法。下面我们就根据函数的特点分类进行讨论。一、函数极限的定义定义一：若当x无限变大时，恒有

3、f(x)・a

4、v£,其中£是可以任意小的正数，则称当x趋向无穷大时，函数f(x)趋向于a,记作Hmf(x)二a或f(x)-*a(x-*+oo)o定义二若当X无限接近x°时，恒有

5、f(x)-a

6、<£,其屮£是可以任意小的正数，则称当x趋向X。时，函数f(x)趋向于a,记作Hmf(x)=a或f(x)-*a(x-x0)o兀TX()二、函数极限的求法下面我们以相关的概念、定理及公式为依据，解决常见函数极限的求解方法:1、直接

7、代入法适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为OO。1.2兀_+兀_5例1：求lim—-~~-—xt23兀+1分析：由于lim(2%2+x-5)=2lim%2+limx-lim5=2・22+2-5=5,xt2xt2xt2xt2lim(3x+i)=3limx+limi=3・2+1二7x->2兀t2xt2所以采用直接代入法。lim(2x2+x-5)&cuu解：原式二―二亠+_二二lim(3x+l)3-2+172、利用极限的四则运算法则求极限这是求极限的基本方法，主要应用函数的和、差、积、商的极限法则及极限结果进行极限的计算，为此有事往往要对函数作一些变形。若limf（x）=A

8、limg（x）=Bx—>x0x—>x0干基本函数的定理(1)lim[f(x)±g(x)]=lim『(x)±limg(x)二A+BXTX()XTX（）lim[f(x)•g(x)]=limf(x)•x—>xoXTX°limg(x)二A•BXTXo⑶若BHO则:f(rlim/Cr)4lim型二=△xfo址兀)limg(x)B(4)lime・f(x)二C・limf(x)=CAx—>x0x—»x0（C为常数）上述性质对于Xf8,Xf+x,Xf-X时也同样成立「兀彳+3兀+5例厶求limXT2兀+4心2兀+42+423、利用极限定义求解函数极限&力定义：lim/(x)=A：V£>0,

9、3<5>0,当0<

10、x-x0

11、

12、f(x)-A

13、<£兀TXolim/(x)=A：V£>0,mS>0,当・/vx・Xo<0时，

14、f(x)・\0,3J>0,当Ovx・x()v》时,

15、f(x)-A

16、<£0lim/(x)=A:V£>0,3M>0,当

17、x

18、>M时，

19、f(x)-A0,3M>0,当x>M时，

20、f(x)・A0,3X>0,当x<-X时，

21、f(x)

22、>Gx—>-oo¥3x+9x23一4兀+4x-2例3：用极限定义证明：呵证：由—3x+21x-2V£>0取3=£则

23、当0<

24、x-2

25、<8时，就有由函数极限航定义有：呵匚厂"4、利用无穷小量的性质求解性质1、无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量性质2、无穷小量与无穷大量的关系：若在自变量的同一变化过程中f(x)为无穷小量，且f(x)H0,则」■「为无穷大量，反之亦然。f(X)性质3、乘积因子的等价无穷小量代换：这函数f、g>h在U°(x0)内有定义,且有f(x)~g(x)(x-*x0)(1)若lim『(x)h(x)=A,贝

26、Jlimg(x)h(x)=A；X—>xoXTX()解：因为

27、sin-

28、^l,所以

29、sin丄

30、是有界变量，又limx=O,XX・2°所以当x-0时，xsin丄是有界变量与无

31、穷小量的乘积，根据无穷小量的性质可知,xsin—是无穷小量，所以linixsin—=0xz%注意：(1)无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。例如，当X-oo,丄是无穷小X量，2x个这种无穷小之和的极限显然为2。(2)无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。(1)无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。例如，当x->x0时，/是无穷大量，丄是有界量，显然，・-4->0ox_x_•fX2,XH0(2)X—*下，f(x)>0,其极限limf(x)未必大于0,例如，f(x)=<'显2[&x=0然f(x)=o.5、利用无穷大量