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1、系统讲解函数极限的求法【摘要】高职高专高等应用数学所有使用的教材中，均没有对函数极限的求法进行过系统的归纳和总结•笔者根据个人教学经验，就高职高专层次如何求函数极限的问题进行了简耍梳理，系统提岀了利用函数的连续性求极限、利用两个基本极限公式求极限、利用Hospital法则求极限这三种求函数极限的方法.【关键词】高职高专；高等应用数学；函数极限；教学方法高职高专开设的高等应用数学核心内容是微积分基础，而极限的概念与运算是微积分基础的基础，连续、导数等概念都是在函数极限的定义上完成的•在高职高专所有使用的教材中，均没有对函数极
2、限的求法进行过系统的归纳和总结•笔者根据个人教学经验，教学屮就高职高专层次如何求函数极限的问题进行了简要梳理，系统提出如下三种方法.一、利用函数的连续性求极限由函数连续的性质可知，若函数y=f(x)在其定义域D内连续，则对于任意一点xOeD,都有函数在xO处的极限值等于其函数值，即limx—xOf(x)=f(xO)•教材中不加证明地指出，所有初等函数在其定义域内都是连续的•实际上这就等于告诉我们，要求初等函数在其定义域内任意一点的极限时，只耍求这一点的函数值即可.例如，求limx—2(3x~5)・只要教会学生：①y=3x-
3、5是一个初等函数(说明为什么是初等函数);②y二3x-5的定义域是全体实数集RJGL2ER；③y=3x-5在x二2处是连续的.于是，直接将x二2代入3x-5中，得：limx->2(3x~5)=3X2-5=1.二、利用两个基本极限公式求极限教材中不经推导地给出了两个基本极限公式：(1)limx-*Osinxx二1；(2)limx—81+1xx二e.教学屮，如何记住这两个基本公式的特点并用好这两个基本公式是教学的关键.(1)limx—0sinxx=1,此公式有两个特点：公式特点一：自变量的变化趋势是“x-0”而不是其他•如果把
4、自变量的变化趋势改为“x->8”，则limx->asinxx的结果就完全变了.根据无穷小量的性质，无穷小量与有界的积仍为无穷小量，得limx—8sinxx=limx—8ix?sinx=0,教学时，可以告诉学生把这个极限与基本公式(1)对照起来学习和掌握.公式特点二：公式屮的三个“x”必须三者统一•例如，求limx->0sin3x2x吋，就应该将limx—0sin3x2x变形为limx—032?sin3x3x,而当x—0时，有3x—0,即“x—O”等价于"3xf0”,因此,limxf0sin3x2x=limx—032?sin
5、3x3x=32lim3x—0sin3x3x,利用基本公式(1)得：limx—Osin3x2x=32.(2)limx-*°°1+1xx二e,此公式有三个特点：①在自变量的变化过程中，括号内以“1”为极限；②括号内用“+”号连接；③1x和x存在一个倒数关系，满足以上三个特点，其极限才等于c.在公式(2)中，令1x=t,则x二1t,且当x—8时，有t->0,于是公式(2)变形为limx-0(1+t)1t二e,很容易看岀，变形后的公式仍然满足以上三个特点.教学时，可以举例说明，女口，limx—01+1xx不满足特点①，limx_>
6、oo1-1xx不满足特点②，limx->81+12xx不满足特点③，因此，它们的极限都不等于e・抓住了公式(2)的三个特点，就可以轻松解决一部分类似函数求极限的问题•如，(1)limx—81-1xx=limx-*001+1-xx=limx~81+1-x-x-l-e_l；(2)limx—001+12xx=limx-^°°1+12x2x12=e12.三、利用Hospital法则求极限在利用极限的四则运算法则求两个分式函数的极限时，要求分母的极限不能为0,即limxfx0f(x)g(x)=limx—xOf(x)limxfxOg(
7、x)=AB(其中limx—xOf(x)二A,limx-*x0g(x)=B且BHO)•假设A=0,B=0,则不能再使用以上运算法则求分式函数的极限了.Hospital法则便提供了用来解决“00”型(或“cooo”型)等未定式函数求极限的方法•根据Hospital法则，对于这两类未定式函数，我们可以对分子、分母分别求导，然后，求它们导数之比的极限•即limx-*x0f(x)g(x)二limx—xOfz(X)才(X).一般地，当x—xO时，f‘(x)gz(x)仍是00(或0000型),且满足Hospital法则的条件时，则可继续
8、使用Hospital法则求极限，且可依此？推•如，limx—0x-sinxx3=limx—0(x~sinx)'(x3)'=limx—O1-cosx3x2=limx—Osinx6x=16,此例中就使用了两次Hospital法则.但是，若所求极限已不是未定式时，则不能再用这个法则，否则将得出错误的结果•如，
