函数极限地求法

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1、实用标准文案序言极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题。数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。两类极限的本质上是相同的，在形式上数列界限是函数极限的特例。因此，本文只就函数极限进行讨论。函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算，一部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”来求解，而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决。求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的。对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法。在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理以及公式为依据，并借助一些

2、重要的方法和技巧。本文给出了十二种求极限的方法，每种方法都是以定理或简述开头，然后以例题来全面展示具体的求法。下面我们就根据函数的特点分类进行讨论。一、函数极限的定义定义一：若当x无限变大时，恒有

3、f(x)-a

4、<，其中是可以任意小的正数，则称当x趋向无穷大时，函数f（x）趋向于a，记作f(x)=a或f(x)→a(x→+)。定义二：若当x无限接近时，恒有

5、f(x)-a

6、<，其中是可以任意小的正数，则称当x趋向时，函数f（x）趋向于a，记作f(x)=a或f(x)→a(x-)。二、函数极限的求法下面我们以相关的概念、定理及公式为依据，解决常见函数极限的

7、求解方法：1、直接代入法适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为。例1：求分析：由于(2+x-5)=2+x-5=2·+2-5=5,精彩文档实用标准文案（3x+1）=3x+1=3·2+1=7所以采用直接代入法。解：原式===2、利用极限的四则运算法则求极限这是求极限的基本方法，主要应用函数的和、差、积、商的极限法则及若干基本函数的极限结果进行极限的计算，为此有事往往要对函数作一些变形。定理若f(x)=Ag（x）=B（1）[f(x)±g(x)]=f(x)±g(x)=A+B(2)[f(x)·g(x)]=f(x)·g(x)=A·B(3)若B≠0则：==(

8、4)C·f(x)=C·f(x)=CA（C为常数）上述性质对于x→，x→+，x→-时也同样成立例2：求解：==3、利用极限定义求解函数极限-定义：=A:当0<

9、x-

10、<时，

11、f（x）-A

12、<=A:当-

13、f（x）-A

14、<=A:当0

15、f（x）-A

16、<精彩文档实用标准文案当

17、x

18、>M时，

19、f（x）-A

20、<当x>M时，

21、f（x）-A

22、<当x<-X时，

23、f（x）

24、>G例3：用极限定义证明：=1证：由===取=则当0<

25、x-2

26、<时，就有<由函数极限-定义有：=14、利用无穷小量的性质求解性质1、无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量性质2

27、、无穷小量与无穷大量的关系：若在自变量的同一变化过程中f(x)为无穷小量，且f(x)≠0,则为无穷大量，反之亦然。性质3、乘积因子的等价无穷小量代换：这函数f、g、h在内有定义，且有f(x)~g(x)(x→)(1)若f(x)h(x)=A，则g(x)h(x)=A;(2)若=B；(3)当x→0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~~ln(x+1)并且1-cosx~。例4：求xsin精彩文档实用标准文案解：因为

28、sin

29、≤1，所以

30、sin

31、是有界变量，又x=0，所以当x→0时，xsin是有界变量与无穷小量的乘积，根据无穷小量的性质可

32、知，xsin是无穷小量，所以xsin=0注意：（1）无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。例如，当x→，是无穷小量，2x个这种无穷小之和的极限显然为2。（2）无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。（3）无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。例如，当x→时，是无穷大量，是有界量，显然·→0。（4）X→*下，f(x)>0，其极限f(x)未必大于0，例如，f（x）=显然f(x)=0.5、利用无穷大量与无穷小量的关系求解例5：求解：因为-4=0，5x=10，所以我们可以求出==0这就是说，当x→2时，为无穷小量，由于恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量，所以

33、为x→2时的无穷大量，即=6、利用初等函数的连续性质求解（适用于求函数在连续点处的极限）利用初等函数的连续性求极限主要应用下列结果：（1）若f(x)在处连续，则f(x)=f()；（2）若（x）=A，y=f(u)在u=A处连续则f[(x)]=f(A);精彩文档实用标准文案（1）若f(x)=A>0,g(x)=B,则=例6：（7x-6）解：因为y=（7x-6）是初等函数，在定义域（，+）内是连续的，所以在x=1处也连续，根据连续的定义，极限值等于函数值，所以（7x-6）=（7-6）=07、利用约零因子法求解例7：求分析所给两个函数中,分子、分母的极限均是

34、0,不能直接使用法则四,故采用消去零因子法.解：原式=(因式分解)=(约分消去零因子)=(应用法则)=当分子和分母的极限同