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1、实用标准文案函数极限的十种求法信科2班江星雨20140202250函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x)在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算
2、法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例1求lim(x2−3x+5).x→2解：lim(x2−3x+5)=limx2−lim3x+lim5=(limx)2−3limx+lim5=22−3⋅2+5=3.x→2x→2x→2x→2x→2x→2x→22.利用洛必达法则洛必达(L'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再
3、求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,limf(x)=0,limF(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))例1：1-cosx=1-{1-2[sin(x/2)]^2}=
4、2[sin(x/2)]^2xsinx=2xsin(x/2)cos(x/2)原式=lim2[sin(x/2)]^2/[2xsin(x/2)cos(x/2)]=tgx/x对分子分母同时求导（洛必达法则）(tgx)'=1/(cosx)^2(x)'=1原式=lim1/(cosx)^2当x-->0时,cosx--->1原式=13.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：①分子、分母为无穷小，即极限为0；②分子上取正弦的角必须与分母一样。应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件：精彩文档实用标准文案①带有“1”；②中间是“+”号；③“+”号后面跟无穷小量；④指数和“+”
5、号后面的数要互为倒数。例1：求lim(arcsinx/x),x趋于0解A.令x=sint,则当t趋于0时,x趋于0,且arcsinx=t所以B.lim(arcsinx/x),x趋于0.=lim(t/sint),t趋于0=14.利用等价无穷小代换定理利用此定理求函数的极限时，一般只在以乘除形式出现时使用。若以和或差形式出现时，不要轻易代换，因为经此代换后，往往会改变无穷小之比的阶数。要用好等价无穷小代换定理，必须熟记一些常用的等价无穷小。例1lim√(1-cosx)/tanx=lim-√2sin(x/2)/tanx=lim-√2/2x/x=-√
6、2/2lim√(1-cosx)/tanx=lim√2sin(x/2)/tanx=lim√2/2x/x=√2/2因为lim√(1-cosx)/tanx≠lim=√(1-cosx)/tanx所以极限不存在5.柯西收敛准则数列{Xn}收敛的充分必要条件是对于任意给定的正数ε存在着这样的正整数N使得当m>N,n>N时就有
7、Xn-Xm
8、<ε这个准则的几何意义表示，数列{Xn}收敛的充分必要条件是：该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。例1证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+[(-1)^(n+1)]/n有极限
9、证：对于任意的m,n属于正整数，m>n
10、xn-xm
11、=
12、[(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m
13、 当m-n为奇数时
14、xn-xm
15、=
16、[(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m
17、<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m =(1/n-1/m)→0 由柯西收敛原理得{xn}收敛 当m-n为偶数时
18、xn-xm
19、=
20、[(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^
