概率论与数理统计试卷及答案

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1、华东理工大学2008–2009学年第二学期《概率论与数理统计》课程考试试卷A卷2009.7.2开课学院：理学院，专业：大面积，考试形式：闭卷，所需时间：120分钟考生姓名：学号：班级：任课教师：题号一二三四五六七总分得分评卷人一、（共12分）设二维随机变量的概率密度函数为，（1）求常数（3分）；（2）求（3分）；（3）证明：与相互独立（6分）。解：（1），……………………………………….2’，；………………………………………1’（2）……………………………….2’………………………………………………1’（3），……………………………..2’……………………………

2、……2’因为，所以与相互独立。………………………………….2’二、（10分）某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量（单位：吨）服从（300，500）上的均匀分布。每售出1吨该原料，公司可获利1万5千元；若积压1吨，则公司损失5千元。问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大？解：设公司组织货源吨，此时的收益额为（单位：千元），则，且-6-………………2’的概率密度函数为……………………..1’……………………………………………………3’令，…………………………………………………2’（唯一驻点），又所以，当吨时，可以使平均收益最大，即公司应该组织

3、货源450吨。...……….2’.三、（11分）已知相互独立的随机变量，的概率密度分别为：，，求的概率密度。解一：（，）的联合概率密度为…..2’由卷积公式，………………..2’当时，；……………………………………………………..…..2’当时，；……………………2’当时，，……………………………………2’即………………………………………….1’解二：………………………………..2’当时，，；………………………….2’当时，…………….2’，……..1’；……………………………….1’-6-当时，………………………………………………………………………………………

4、…2’，……………………………………………………………...1’即四．（10分）在产妇骨密度/g/cm2的研究中，孕妇孕期介入补充钙制剂者作为试验组，孕期采用传统膳食者作为对照组。其测定结果如下表所示，分组编号分组样本容量样本均值样本标准差1传统膳食者120．8960．0542补充钙制剂者111．0540．043若假设两组孕妇的骨密度都服从正态分布，试说明传统膳食和孕期补钙的产妇（1）骨密度总体的方差是否有明显差异？（本小题5分）（2）平均骨密度有无明显差异？（本小题5分）（，，，）解：已知，，；，，；（1）；……………………………………1’选取统计量，在成立时

5、，服从，……….1’经计算，，…………………2’因此接受，即认为传统膳食和孕期补钙的产妇的骨密度总体的方差没有明显差异。………………………………………………………………………….1’（2）；………………………………….1’选取统计量，在成立时，服从…1’经计算，，…………………..2’因此拒绝，即认为传统膳食和孕期补钙的产妇的骨密度总体的均值有明显差异。………………………………………………..……………………..1’五、（12分）设总体的概率密度为其中，是未知参数，是来自的一组样本，-6-（1）求的矩法估计，并考察是否为的无偏估计。（本小题5分）（2）求的极大似

6、然估计，并考察是否为的无偏估计。（本小题7分）解：（1），…………………………2’因此.…………………………1’，所以此矩估计是的无偏估计。……………2’（2）似然函数，…………………………2’，，，…………………………1’越小，越大，故…………………………1’的的分布函数为的分布函数为的密度函数为………………………1’，故不是的无偏估计。…………………………2’六、填空题（共24分，每小题3分，共8小题）1．设某地旅游者日消费额服从正态分布，且标准差，今对该地旅游者的日平均消费额进行估计，为了能以95%的置信水平相信这种估计的误差绝对值小于3（元），则至少需要

7、调查62人。（）2．在一次试验中事件A发生的概率为p，把这个试验独立重复做两次。已知事件A至多发生一次的条件下，事件A至少发生一次的概率为。则1/3。-6-3．设事件相互独立，且，，，则0．254．某种体育彩票的奖金额由摇奖决定，平均奖金额为20万，标准差为10万。若一年中要开出256个奖，为有95%的把握保证能够发放奖金，（用中心极限定理估计可知，）需要准备奖金总额5383．2万。（）5．设随机变量的密度函数是。对独立地随机观察6次，表示的观察值大于的次数，则3。6．设随机变量X的概率密度为,用切比雪夫不等式估计___1/100___.7．将一枚硬币重复投掷n

8、次,设，分别表示正面向上