概率论与数理统计试卷及答案

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1、华东理工大学2008–2009学年第二学期《概率论与数理统计》课程考试试卷A卷2009.7.2开课学院：理学院，专业：大面积，考试形式：闭卷，所需时间：120分钟考生姓名：学号：班级：任课教师：题号一二三四五六七总分得分评卷人一、（共12分）设二维随机变量的概率密度函数为，（1）求常数（3分）；（2）求（3分）；（3）证明：与相互独立（6分）。解：（1），……………………………………….2’，；………………………………………1’（2）……………………………….2’………………………………………………1’（3），……………………………..2’…………………………………2’因为，所以

2、与相互独立。………………………………….2’二、（10分）某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量（单位：吨）服从（300，500）上的均匀分布。每售出1吨该原料，公司可获利1万5千元；若积压1吨，则公司损失5千元。问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大？解：设公司组织货源吨，此时的收益额为（单位：千元），则，且-6-………………2’的概率密度函数为……………………..1’……………………………………………………3’令，…………………………………………………2’（唯一驻点），又所以，当吨时，可以使平均收益最大，即公司应该组织货源450吨。...……….2’.三

3、、（11分）已知相互独立的随机变量，的概率密度分别为：，，求的概率密度。解一：（，）的联合概率密度为…..2’由卷积公式，………………..2’当时，；……………………………………………………..…..2’当时，；……………………2’当时，，……………………………………2’即………………………………………….1’解二：………………………………..2’当时，，；………………………….2’当时，…………….2’，……..1’；……………………………….1’-6-当时，…………………………………………………………………………………………2’，……………………………………………………………

4、...1’即四．（10分）在产妇骨密度/g/cm2的研究中，孕妇孕期介入补充钙制剂者作为试验组，孕期采用传统膳食者作为对照组。其测定结果如下表所示，分组编号分组样本容量样本均值样本标准差1传统膳食者120．8960．0542补充钙制剂者111．0540．043若假设两组孕妇的骨密度都服从正态分布，试说明传统膳食和孕期补钙的产妇（1）骨密度总体的方差是否有明显差异？（本小题5分）（2）平均骨密度有无明显差异？（本小题5分）（，，，）解：已知，，；，，；（1）；……………………………………1’选取统计量，在成立时，服从，……….1’经计算，，…………………2’因此接受，即认为传统膳食

5、和孕期补钙的产妇的骨密度总体的方差没有明显差异。………………………………………………………………………….1’（2）；………………………………….1’选取统计量，在成立时，服从…1’经计算，，…………………..2’因此拒绝，即认为传统膳食和孕期补钙的产妇的骨密度总体的均值有明显差异。………………………………………………..……………………..1’五、（12分）设总体的概率密度为其中，是未知参数，是来自的一组样本，-6-（1）求的矩法估计，并考察是否为的无偏估计。（本小题5分）（2）求的极大似然估计，并考察是否为的无偏估计。（本小题7分）解：（1），…………………………2’因此.…

6、………………………1’，所以此矩估计是的无偏估计。……………2’（2）似然函数，…………………………2’，，，…………………………1’越小，越大，故…………………………1’的的分布函数为的分布函数为的密度函数为………………………1’，故不是的无偏估计。…………………………2’六、填空题（共24分，每小题3分，共8小题）1．设某地旅游者日消费额服从正态分布，且标准差，今对该地旅游者的日平均消费额进行估计，为了能以95%的置信水平相信这种估计的误差绝对值小于3（元），则至少需要调查62人。（）2．在一次试验中事件A发生的概率为p，把这个试验独立重复做两次。已知事件A至多发生一次的条件

7、下，事件A至少发生一次的概率为。则1/3。-6-3．设事件相互独立，且，，，则0．254．某种体育彩票的奖金额由摇奖决定，平均奖金额为20万，标准差为10万。若一年中要开出256个奖，为有95%的把握保证能够发放奖金，（用中心极限定理估计可知，）需要准备奖金总额5383．2万。（）5．设随机变量的密度函数是。对独立地随机观察6次，表示的观察值大于的次数，则3。6．设随机变量X的概率密度为,用切比雪夫不等式估计___1/100___.7．将一枚硬币重复投掷n次,设，分别表示正面向上