数列专题之求通项公式

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1、数列专题之求通项公式【教学目标】1、通过从最基本的等差、等比数列求和问题进行变式，展现几类常见的递推公式；2、初步体验将新数列的递推公式迭代具体化，并猜测归纳新数列本质规律的方法；3、通过将新问题化归为最基本的等差、等比数列求通项公式或求和的问题的过程，使学生初步掌握由数列递推公式求通项公式的若干常用方法，并进一步体验化归思想和数学未知问题的研究方法。【教学重难点】掌握几类常见求数列通项公式的方法。【教学过程】（框线内为板书）一、复习引入【引例】口答（1）在数列中，，，则_______________解：，（2）在数列中，，，则_______________解：，【基础变式

2、】如果条件变化为以下形式，你还能求解通项公式吗？（1）在正数项数列中，，，求_______________解：是以4为首项，3为公比的等比数列所以，，因为，所以，（2）在数列中，，，则_______________解：由题意，且，所以是以为首项，2为公差的等差数列所以，所以，【小结】非等差、等比数列，须化归为等差、等比数列求解通项公式数列专题——数列通项公式求数列通项公式的基本思路：新数列问题————>等差、等比数列问题【进阶变式】如果条件变化为以下形式，你还能求解通项公式吗？（1）在数列中，，，求的通项公式（2）在数列中，，，求的通项公式（3）在数列中，，，求的通项公式（

3、4）在数列中，，，求的通项公式二、通过变式引入其他类型的求通项公式方法1、将引例（1）中的2改为2n，即变为，如何求解？【例1】在数列中，，，求的通项公式【分析1】根据递推公式，表示出数列的前五项：，，，，减2之后成为：0,2,6,12,20，猜测（填空题可使用）但缺少严格论证【分析2】如果不计算答案，而将代入过程呈现：，，，，发现规律：（，）这是一种迭代的思路，等价的解法也可以是累加法：【分析3】通项公式变形为，即：，，，……，（，）发现可用这一系列的式子表示：（，）经检验，，【小结】迭代法；累加法；求数列通项公式的方法：1、迭代法：不断用变量的旧值递推新值的过程；2、累

4、加法：（，）★适用情况：且可求前n项和2、将引例（2）中的3改为，即变为，如何求解？【例2】在数列中，，，求的通项公式【分析】将例2减法改成了除法，因此方法可以类比解：由题意，，所以，即：，，，……，（，）发现可用这一系列的式子表示：（，）当n=1时，所以，，【小结】累乘法；求数列通项公式的方法：3、累乘法：（，，）★适用情况：且可求前n项积3、将引例中的递推公式组合成，如何求解？【例3】已知数列满足，且，求的通项公式【提示】根据递推公式，写出前5项为：2，8，26，80，242,分别减1之后为3，9，27，81，243，为等比数列，因此猜测是等比数列解：设（），，可得，所

5、以，所以是以3为首项，3为公比的等比数列所以，所以（）【思考】能否通过其他方式找到辅助数列，从而求解通项公式？【分析】只要合理分配递推公式右式中的常数项2，就一定能构造辅助数列成为等比数列：设，展开整理得，令得所以必有，即是等比数列【巩固练习】已知：，，构造辅助数列使其为等比数列解：设，展开整理得，令得所以必有，即是等比数列【小结】辅助数列法——待定系数法4、辅助数列法（1）倒数型（2）平方型（3）待定系数型★适用情况：（），可通过待定系数法构造等比辅助数列说明：p=1时为等差数列，q=0时为等比数列，p=0时为常数列，无需使用此方法。4、将例1中的a替换成S，即变为，如何

6、求解？【例4】在数列中，，，求的通项公式【分析1】可根据例3先用待定系数法找到辅助数列，从而求出通项公式，继而求出解法一：根据例3，可证是以3为首项，3为公比的等比数列，且（）当时，当时，所以；因为当时，所以（）【分析2】可利用化为递推公式解法二：由已知：（），（，）两式相减得（，）即（，）（从第二项开始为等比数列）又得，解得可得，所以（，）所以从第二项开始是以6为首项，3为公比的等比数列所以（，）当时，所以5、公式法（）【注】仅当时可用★适用情况：已知的通项公式或含的递推公式★使用方法：（1）将与作差，消去（2）将代换成，消去【例5】在数列中，，，求的通项公式【分析】可利

7、用化为递推公式解法一：，两式相减得：所以是以2为首项为公比的等比数列解法二：，所以，即，之后用待定系数法求解【课堂总结】数列专题——数列通项公式求数列通项公式的基本思路：新数列问题————>等差、等比数列问题求数列通项公式的方法：1、迭代法：不断用变量的旧值递推新值的过程；2、累加法：（，）★适用情况：且可求前n项和3、累乘法：（，，）★适用情况：且可求前n项积4、辅助数列法（1）倒数型（2）平方型（3）待定系数型★适用情况：（），可通过待定系数法构造等比辅助数列5、公式法（）【注】仅当时可用★适用情况：已知的通项