四年级奥数讲义299学子教案库第02讲数表规律与数列综合

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1、第二讲数表规律与数列综合1.观察一下数表，请问最右下角的数字是什么。2，4，6，8，10，……20044，6，8，10，12，…………6，8，10，12，14，…………8，10，12，14，16，………………………………………………………………2004，…………………………解：仔细观察数表，第一行是从2至2004的偶数数列，第一列也是如此，因此可以判断，这是一个1002行1002列的方形数表，关系非常简单，最右下角的数字为以2004为首项，2为公差的等差数列的第1002项是2004＋（1002－1）×2＝4006。2.设有数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4…

2、…问20在此数列中排第几项。解：首先观察数列，很显然，从1开始，每个数字重复出现它本身数次，因此对于从1开始每个数出现的次数得到如下数列：1，2，3，4，……这是一个自然数列，在20出现前，会有19个19出现，因此计算第一个20的位置就需要计算，以上数列的19项的和是多少。对于这个等差数列，19项的和为（1＋19）×19/2＝190，所以20出现在第191到210项。3.按照右图表中的规律，回答第一行第10列的数是几？1491625…2381524…5671423…1011121322…1718192021…………………解：以左上角的1为中心，做逆时针扫描发现如下数

3、列1，（2，3，4），（5，6，7，8，9）……这就是本题中的自然数列的分布规律。每一组所含有的数字的个数等于（组数×2－1），同时组数反映了第一个数字的行数，于是得到每组数字个数的数列：1，3，5，7……根据以上分析，第一行第10列的数字是位于第10组的最后一个数字。则所得数列的第10项为2×10－1＝19按照自然数列可以推断出（1＋19）×10/2＝1004.仔细观察下数列，回答出现在第19个位置上的是什么数字。1，1，2，1，1，2，3，1，2，2，1，3，……解：考虑将数列按照位置的奇偶性不同分成两个数列奇数列：1，2，1，3，2，1，……偶数列：1，1，2

4、，1，2，3，……这样排布来看就非常清楚了，奇数列分组为（1）（2，1）（3，2，1）……偶数列为（1）（1，2）（1，2，3）……对于每一组，到每组结束前都有（组数＋1）×组数/2个数字。19＝20－1确定第19个位置是偶数列第4组的倒数第二项所以，第19个位置为3。5.自然数列1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，……连续排列形成如下数列1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，0，1，1，1，2，1，3，……请回答第1990个数位上的数字是几。解：这是一个重排数列的问题，我们这样考虑，1位数有9个，2位数有2×90＝180个，3位数有3×900＝270

5、0，第1995个数位显然在3位数中存在。对于3位数，还剩余1990－9－180＝1801个数字1801除以3的商600余1，所以第1990个数位为700的第一个数字7。6.观察如下数表，回答第10行中第7个数字是几。1，3，6，10，15……2，5，9，14，……4，8，13，……7，12，……11，……解：按照斜线位置关系，将数字分为如下几组（1）（2，3）（4，5，6）（7，8，9，10）……每一组中数字得所在行和所在列的和相同。例如第2组，2是2行1列，3是1行2列，和为3。且组数与和相差1，所以第10行的第7个数字行列和为17，所以是第16组的数字。通过如上

6、分析可知，前15组共有（1＋15）×15/2＝90个数字，所以第16组第一个数字，即位于第1列的数字为91，那么第10行第7个数字为97。7.将自然数1，2，3，…按图排列，在2处转第一个弯，在3处转第二个弯，在5处转第三个弯，……，问哪个数转第20个弯？解：从图中抽象出拐弯的数字组成的数列如下：2，3，5，7，10，13，17，21……可以看出相邻两项的差有如下关系1，2，2，3，3，4，4，……从第二项起是一个重复两次的等差数列。通过以上分析可以确定，转第20个弯的时候，数字是得到数列的前19项之和，即（1＋10）×10－1＝498.有一列数：3，1000，99

7、7，3，994，991，……从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，那么在这列数中最小的数是几？它第一次出现在这列数的第几个？解：我们把这个数列延伸一下3，1000，997，3，994，991，3，988，985，3，982，979，3……3间隔两项出现，大数以3为公差减小，每两个为一组，每组前两个数字差为6，1000/6商144余4，即在第145组中出现第一个数字为4，第二个数字为4－3＝1，这就是最小的数字。经过上面的分析，最小的数字是1，它的位置是3×144＋2＝4359.把下面的等差数列按一项、两项、三项、四项循环的方式进行分组：（11）