例谈学习数学的一个方法：试题改编

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1、例谈学习数学的一个方法：试题改编在数学学习中，解题是基本的形式。如果能对典型的试题进行改编，则可以取到举一反三、触类旁通的效果。例如：2000年全国高考（理19，文20）设函数f(x)=,其中a>0,求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0,+∞）上是单调函数。解：f′(x)=当x=0时=0当x>0时0<=<1所以，当x≥0时0≤<1因此，当a≥1时f′(x)<0,f(x)在[0，+∞）上是减函数当0

2、上是单调函数的a的取值范围是[1,+∞）这道试题考查函数单调性的判断，可对原题进行下面的改编：改编1：设函数f(x)=,其中a∈R,求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0,+∞）上是单调函数。分析：把a的范围扩展至R后，要使函数f(x)在[0,+∞）上单调须使a≤0或a≥1。改编2：设函数f(x)=,其中a∈R4,求a的取值范围，使函数f(x)在区间（-∞，+∞）上是单调函数。分析：再把定义域扩展至R后，仍然可用求导法来判断，由于-1<<1,所以a≤-1,或a≥1。改编3:设函数f(x)=,其中a∈

3、R,求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0,+∞）上不是单调函数。分析：改编后变成不单调，显然0

4、逆否命题。在2001年高考中（理19，文20）有这样一道解析几何试题：设抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴,证明直线AC经过原点O。我们发现在高二下册课本P123页有这样一道题目：过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证直线MQ平行于抛物线的对称轴。4应该说这两道题目在方法上是相似的，高考题就象课本上这道题目的逆命题。下面再举一例来说明如何进行试题改编：原题：若不等式

5、x+1

6、+

7、x

8、-1

9、>k的解集为R，则实数k的取值范围是：。分析：在数轴上运用数形结合思想可知对于x∈R,都有

10、x+1

11、+

12、x-1

13、≥2，所以，k<2。改编1：若不等式

14、x+1

15、+

16、x-1

17、

18、x+1

19、+

20、x-1

21、≥k的解集为R，则实数k的取值范围是：。改编3：若不等式

22、x+1

23、-

24、x-1

25、>k的解集为R，则实数k的取值范围是：。改编4：若不等式

26、x+1

27、-

28、x-1

29、

30、x+1

31、-

32、x-1

33、

34、实数k的取值范围是：。改编6：若方程

35、x+1

36、+

37、x-1

38、=k有两个不相等的实数解，则实数k的取值范围是：。改编7：若方程

39、x+1

40、+

41、x-1

42、=k有无实数解，则实数k的取值范围是：。改编8：若方程

43、x+1

44、+

45、x-1

46、=k有无数个实数解，则实数k的取值范围是：。改编9：若方程

47、x+1

48、+

49、x-1

50、+

51、x-2

52、>k的解集为R，则实数k的取值范围是：。通过上面的试题改编可以看到，对典型试题进行适当的改编确实可以收到事半功倍的效果。当然进行试题改编既要视野开阔灵活多变，又要加深基础知识基本方法。最后给读者

53、留几个练习，不妨一试：1．函数f(x)=

54、ax2+bx+c

55、(a≠0)的定义域分成四个单调区间的充要条件是：。42．若直线y=x+m与函数y=的图象有两个不同的交点,则m的取值范围是:。3．已知α∈(0,2),sinα<-,则α的取值范围是:。4．已知等差数列{an},等比数列{bn},其中公比q≠1且bi>0(I=1,2,3…)若a1=b1,a11=b11,比较a6b6。5．(2005年高考试题)设椭圆的两个焦点为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P。若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆

56、的离心率e=。6．若a>0,b>0,且ab=a+b+3，则ab的取值范围是：。4