以不等式为例谈数学学习方法

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1、以不等式为例谈数学学习方法数学与其他学科除了研究对象不同外，最突出的特点在于数学对象内部规律的准确性，每一个结论的得出都必须经过严密的逻辑推理来证明，数学的这种证明与其他学科相比更具有形式化、灵活性、适度性、多样性的特点，尤其是在不等式的证明过程中。数学是一门很抽象的学科，要想学好数学，必须讲求方法，寻求规律，缺乏有效的方法，不仅谈不上效率，而且问题也不能解决，事情更不能成功。数学是一门很精确的学科，除了上机外，很少实验，主要依靠合理的抽象思维，这样就加重了学习方法的份量，在学习数学时，必须讲求方法，研究数学时更是如此。我认为学数学一定要做到数学的七化，即“细化”、“类化”、“活化”

2、、“升化”、"深化”、"数学化”、“简洁化”。升化：就是融合多方面的知识，站在比较高的角度，把离散的、零碎的统一起来，比如，中学数学里，圆、椭圆、双曲线、抛物线简单的统一于极坐标方程?籽=e-p(1-e-cos?兹)，其中，e为离心率，再则，定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分，它们从本质上都是某种特殊和式的极限，它们从极限的理论得以统一，这种和谐与统一的确给人一种“欲穷千里目，更上一层楼”的美感。数学化：也即翻译数学，每一个数学问题，都要能用数学的语言将问题翻译出来。比如说：函数极限的概念：“当自变量X无限的趋近固定的xO时，其函数值趋向某一个常数A,这个常数就叫x趋近于

3、xO时函数的极限。”，这个概念很抽象，怎么样才能够算是无限接近xO呢？我们衡量有没有指标。如有，指标是什么，通过学习后我们知道衡量这个指标就是“对于任意给定小的正数?着，都能够找到一个正数？啄，当任意x满足0Vx~x・0,?坍？啄>0,?樂X(0

4、往往含有多个变量，研究彼此之间的关系，常常归结于不等式问题，不等式作为一种工具，蕴含着丰富的思想，因而，不等式的证明，既是重点，也是难点。它并不是无规可循，常用的证明方法有如下几种“比较法”，“分析综合法”，“放缩法”，“反证法”，“数学归纳法”，'‘积分法”，"函数单调性法(函数思想法)”，“凸函数法”，下面结合例子介绍部分方法：1•放缩法：要证f(x)g(x),又易证f(x)

5、善于观察题目的特点，再向目标放缩。例l.n是自然数，求证■(】+■+■+……+■)>・-1(摘自《髙中数学新课程内容解析》)证明：先看第一种放缩：要证■(】+■+■+……+■)>■-1只须证1+・(1+■+■+……+■)〉■即可。因为i+a(i+■+■+……+■)〉i+■二i+・(算术平均数不小于调和平均数)所以i+・(1+■+■+……+■)>i+・由伯努利(Bernoulli)不等式，当x〉T,0(n+1)■显然当n>2时，■>(■)・。故放缩过大无法得到要证的结论。看以下正确证法要证■(】+■

6、+■+……+■)〉■-1只须证i+a(i+■+■+……+■)>■即可，不等式两边同时乘以n,则有n+l+・+・+……+■>□•■,现在就是不等式放缩技巧所在，将n写成「1+1+……+1这里共有n个1,则有n+l+■+■++■二(1+1)+(1+・)+(1+・)++(1+・)=2+■+■+……+■(这一步很关键)而2+■+■+……+■>!!(均值不等式的推广)这就是要证的不等式，故命题得证。注：例1有很大的综合性，灵活性，综合考察了不等式的放缩法和比较法，必须善于挖掘题目的隐含条件。2•积分法：在某些高等不等式的证明过程中，部分关于自然数的不等式或某些关于自变量的不等式，可以用积分法证

7、之。请看下例：例2.n是自然数，证明(n+1)-In(n)<■证明：由于■■dx=ln(n+1)-In(n)(构造这一步很关键，要求对积分很熟悉)而当nWxWn+1时有，所以，两边从n到n+1积分得：■・dxV■・dxV■・dx,即・Vln(n+l)Tn(n)<■,这是一个很简单的用积分法证明的不等式，说明不等式的证明复杂多样，灵活多变。3•函数的单调性法：这种方法也称函数思想证明法，这种方法将函数与不等式紧密地联系起来，适用于部分关于自变量的不等式和带有