二项式系数的性质及应用

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1、二项式系数的性质及应用对于n∈N﹡,(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+abn-1+bn.右边二项展开式中的(r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,有如下性质：(1)对称性:在二项展开式中与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即=,,…,=，r=0,1,2,…,n.(2)增减性与最大值:二项式系数,当k<时二项式系数是递增的，当k>时二项式系数是递减的，若n为偶数，则中间一项的二项式系数最大，若n为奇数，则中间两项的二项式系数，最大。(3)所有二项式系数的和为2n，即+++…+=2n。(4)奇数项的系数和等于偶数项的系数和且等于2n-1，即+++…=+=2n

2、-1.在解题时要注意二项式展开式中某项的系数不同于该项的二项式系数，下面看其应用。一、二项展开式的系数问题举例1.若(1-2x)2012=a0+a1x+a2x2+…+a2012x2012(x∈R),求(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…(a0+a2012)=________（用数字作答）。分析:求系数和有关问题时，常采用赋值法。解:令x=0得a0=1，原式=2012a0+(a1+a2+a3+…+a2012)=2011a0+(a0+a1+a2+a3+…+a2012)，再令x=1得a0+a1+a2+a3+…+a2012=1，所以(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+

3、a3)+…(a0+a2012)=2012.评注:对于二项式系数问题首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段，在运用时要仔细观察式子特点，寻找x赋何值时(-1，1，0或其它值)可使已知所得等式更接近所求。二、求展开式中二项式系数最大项与系数最大项问题举例2.若(1+2x)n的展开式中二项式系数的和为256，求展开式中二项式系数最大的项与展开式中系数最大的项。分析:求二项式系数最大的项，必须先求指数n的值，而要求展开式中系数最大的项还需要确定r的值。解:(1)由题意知二项式系数的和为2n=256得n=8，故展开式中二项式系数最大的项为T

4、5=C(2x)4=1120x4,(2)若Tr+1项的系数最大则r=5或6,故展开式中系数最大的项为T6=C(2x)5=1792x5，T7=C(2x)6=1792x6.评注:求二项式的展开式中二项式系数最大的项，由条件确定n之后，一般应用系数性质2，若求系数最大的项，一般是用比较法，记系数分别为Pr，Pr+1，Pr+2则有则Pr+1最大，求解出r.一、求与等差数列有关的组合数的和举例3设a0，a1，a2，…，an成等差数列，求证:a0+a1+a2+…+an=(a0+an)2n-1.分析:由等差数列性质、组合数性质结合数列求和的倒序相加法可证明该题。证明:等差数列性质知:若m+n=

5、p+q,则am+an=ap+aq,又=，Sn=a0+a1+a2+…+an,Sn=an+an-1+…+a1+a0.2Sn=(a0+an)+(a1+an-1)+(a2+an-2)+…+(an+a0)=(a0+an)(+++…+)=(a0+an)2n,a0+a1+a2+…+an=(a0+an)2n-1.评注:此题证法与推导等差数列求和公式类似，此题可拆项求解:ak=(a0+kd)=a0+nd,左边=a0(+++…+)+nd（+）=a02n+nd2n-1=2n-1(2a0+kd)=(a0+an)2n-1.二、组合恒等式的证明举例4求证:（）2+（）2+（）2+…+（）2=。分析:观察等

6、式的特点=，想到构造等式(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n.利用同一项系数相等进行证明。证明:由(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n=(+x+x2+…+xn)(+x+x2+…+xn)。由于xn的系数是第一个因式中xr的系数与第二个因式中xn-r的系数乘积和。即+++…+=（）2+（）2+（）2+…+（）2(=,r=0,1,2,…,n)而在(1+x)2n的展开式中xn的系数为=因此原恒等式成立。评注:对与组合数有关的等式的证明常构造等式，利用两边某一项的系数证明。在证明中，首先对等式认真观察分析，充分利用展开式系数的特点，合理构造。三、综合运用举例已知函数f(x)=(1

7、-x)2n(x∈R,n∈N+)(1)设集合M是以f(x)展开式中所有二项式系数为元素构成的一个集合，试求M中元素之和An(要求化简结果)，(2)设F(x)=f(x)+f(-x),当x∈[-1,1]时，求F(x)的最大值。分析:(1)由集合元素的互异性和组合数性质易求解An；(2)展开化简放缩最后运用二项式系数求解。解析:由组合数性质=,,…,及元素互异性知M={，，，…，}记An=+++…+,又+++…++，即An+An-=4n.∴An=(4n+).(2))F(x)=2(+x2+x4+…+x