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1、二项式系数的性质及应用对于n∈N﹡,(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+abn-1+bn.右边二项展开式中的(r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,有如下性质：(1)对称性:在二项展开式中与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即=,,…,=，r=0,1,2,…,n.(2)增减性与最大值:二项式系数,当k<时二项式系数是递增的，当k>时二项式系数是递减的，若n为偶数，则中间一项的二项式系数最大，若n为奇数，则中间两项的二项式系数，最大。(3)所有二项式系数的和为2n，即+++…+=2n。(4)奇数项的系数和等于偶数项的系数和且等于2n-1，即+++…=+=2n-1.在解题时要
2、注意二项式展开式中某项的系数不同于该项的二项式系数，下面看其应用。一、二项展开式的系数问题举例1.若(1-2x)2012=a0+a1x+a2x2+…+a2012x2012(x∈R),求(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…(a0+a2012)=________（用数字作答）。分析:求系数和有关问题时，常采用赋值法。解:令x=0得a0=1，原式=2012a0+(a1+a2+a3+…+a2012)=2011a0+(a0+a1+a2+a3+…+a2012)，再令x=1得a0+a1+a2+a3+…+a2012=1，所以(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…(a0+a2012)=
3、2012.评注:对于二项式系数问题首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段，在运用时要仔细观察式子特点，寻找x赋何值时(-1，1，0或其它值)可使已知所得等式更接近所求。二、求展开式中二项式系数最大项与系数最大项问题举例2.若(1+2x)n的展开式中二项式系数的和为256，求展开式中二项式系数最大的项与展开式中系数最大的项。分析:求二项式系数最大的项，必须先求指数n的值，而要求展开式中系数最大的项还需要确定r的值。解:(1)由题意知二项式系数的和为2n=256得n=8，故展开式中二项式系数最大的项为T5=C(2x)4=1120x4,(2)若Tr+1
4、项的系数最大则r=5或6,故展开式中系数最大的项为T6=C(2x)5=1792x5，T7=C(2x)6=1792x6.评注:求二项式的展开式中二项式系数最大的项，由条件确定n之后，一般应用系数性质2，若求系数最大的项，一般是用比较法，记系数分别为Pr，Pr+1，Pr+2则有则Pr+1最大，求解出r.一、求与等差数列有关的组合数的和举例3设a0，a1，a2，…，an成等差数列，求证:a0+a1+a2+…+an=(a0+an)2n-1.分析:由等差数列性质、组合数性质结合数列求和的倒序相加法可证明该题。证明:等差数列性质知:若m+n=p+q,则am+an=ap+aq,又=，Sn=a0+a1+a2+
5、…+an,Sn=an+an-1+…+a1+a0.2Sn=(a0+an)+(a1+an-1)+(a2+an-2)+…+(an+a0)=(a0+an)(+++…+)=(a0+an)2n,a0+a1+a2+…+an=(a0+an)2n-1.评注:此题证法与推导等差数列求和公式类似，此题可拆项求解:ak=(a0+kd)=a0+nd,左边=a0(+++…+)+nd（+）=a02n+nd2n-1=2n-1(2a0+kd)=(a0+an)2n-1.二、组合恒等式的证明举例4求证:（）2+（）2+（）2+…+（）2=。分析:观察等式的特点=，想到构造等式(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n.利用同一项系数
6、相等进行证明。证明:由(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n=(+x+x2+…+xn)(+x+x2+…+xn)。由于xn的系数是第一个因式中xr的系数与第二个因式中xn-r的系数乘积和。即+++…+=（）2+（）2+（）2+…+（）2(=,r=0,1,2,…,n)而在(1+x)2n的展开式中xn的系数为=因此原恒等式成立。评注:对与组合数有关的等式的证明常构造等式，利用两边某一项的系数证明。在证明中，首先对等式认真观察分析，充分利用展开式系数的特点，合理构造。三、综合运用举例已知函数f(x)=(1-x)2n(x∈R,n∈N+)(1)设集合M是以f(x)展开式中所有二项式系数为元素构成的一个集
7、合，试求M中元素之和An(要求化简结果)，(2)设F(x)=f(x)+f(-x),当x∈[-1,1]时，求F(x)的最大值。分析:(1)由集合元素的互异性和组合数性质易求解An；(2)展开化简放缩最后运用二项式系数求解。解析:由组合数性质=,,…,及元素互异性知M={，，，…，}记An=+++…+,又+++…++，即An+An-=4n.∴An=(4n+).(2))F(x)=2(+x2+x4+…+x
