二项式系数的性质及应用.doc

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1、选修2－3第1章计数原理§1.5.2二项式系数的性质及应用（理科）（第1课时）总第25教案一、【教学目标】1、掌握二项式系数的性质；2、培养观察发现、抽象概括及分析解决问题的能力。3、认真分析下图提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理，得到二项式系数的性质，再给出严格的证明。二、【教学过程】1、对，当n依次取0,1,2,3，……时，其展开式的二项式系数如下表：……………1…………11………121……1331…14641151010511615201561…………………………………………………………其中左侧是根据二项式定理得到的，右侧是算出组合数的值

2、后所得的结果，2、从上述表中，你发现二项式系数有什么特点？（1）每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，……………（2）图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。当n较小时，可利用“杨辉三角”迅速写出二项式的系数。（3）表中每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大。（4）第1行为1=，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为，……第7行的各数之和为。3、二项式系数的性质：一般地，展开式的二项式系数有如下性质：（1）；（2）；（3）当时，；当时，；此式比较抽象，具体地：当

3、n为偶数时，n+1是奇数，中间项是第项，二项式系数中，以最大，即中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，n+1是偶数，中间两项是第项，二项式系数中以和（两者相等）最大，即中间两项的二项式系数相等且最大。（4）。4、二项式系数的性质的证明：性质1证明：性质2证明：性质3证明：性质4证明：三、【应用举例】例题1、证明：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。练习：=。例题2、用二项式定理证明：能被1000整除。练习：1、的展开式中二项式系数的最大值是。2、=。3、被5除所得的余数是。4、求证：。5、证明：当n为偶数时，。例题3、求除以

4、9的余数。例题4、要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题。（1）化简：=。（2）设，则=。例题5、在的展开式中，已知第6项与第7项的系数相等，求：（1）该展开式中二项式系数最大的项；（2）该展开式中系数最大的项；课外作业1、被8除的余数为。2、已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n=。3、化简：=。4、化简：=。5、展开式中系数最大的项为。6、若，则=。7、在的二项展开式中，若只有的系数最大，则n=。8、展开式中不含项的系数的和为。9、的展开式中，常数项为5，则n=。10、的展开式中，含x的正整数次幂的项共有项。11、的展开式

5、中，整理后的常数项是。12、已知展开式的各项系数之和比展开式的二项式系数之和小240，求的展开式中系数最大的项。13、用二项式定理证明：能被整除。14、计算：（1）；（2）。