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1、中值定理教学探讨2007年第3期No,3,2007九江学院JournalofJiujiangUniversity(总第140期)(SumNO140)中值定理教学探讨张珍珍(九江学院理学院吴筠江西九江332000)摘要:在数学分析中,三个中值定理十分重要,是教学的难点,可采用启发性教学以及用综合分析法来构造辅助函数,能达到理想的教学效果.关键词:中值定理;教学;启发性;综合分析法中图分类号:O174.文献标识码:A文章编号:1673—4580(2007)03—0109一(03)中值定理对于《数学分析》这门专业课来说是一个比较重要但又不容易掌握的章节.很多
2、学生在学习完该节内容后仍然不会解题,这其中一个重要原因就是在学习过程中只注重记忆形式结果而忽略过程的分析,大多数学生经过十几年初等数学的学习已经形成一种思维定式:解题时总是习惯从已知条件推导待求结论.显然这种单一思维方式已经不适用现在高等数学特别是数学专业的学习.如何让学生更好的掌握中值定理并有效运用,我们针对教学中遇到的一些普遍现象经过研究摸索得到一些体会,与大家共同探讨.1中值定理的内容1)罗尔(Rolle)中值定理:若函数f满足如下条件:①f在闭区间[a,b]上连续;②f在开区间(a,b)内可导3)f(a)=f(b)则在(a,b)内至少存在一点,
3、使得f()=02)拉格朗13(Lagrange)中值定理:若函数f满足如下条件:①在闭区间[a,b]上连续;②在开区间(a,b)内可导;则在(a,b)内至少存在一点,使得f,()=3)柯西中值定理:若①函数f与g都在闭区间[a,b]上连续;②f与g都在开区间(a,b)内可导;3)f,与g在(a,b)内不同时为零,则在(a,b)内至少存在一点,使得业一)=璺)g()g(b)一g(a)2中值定理之间的关系1)在拉格朗日中值定理中若f(a)=f(b)可推出罗尔中值定理(即罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例;拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广);2)在柯西
4、中值定理中若取g(x)=X时就可推出拉格朗日中值定理(即拉格朗日中值定理是柯西中值定理特例;柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广).三者的关系可表示为:罗尔中值定理旦_三柯西中值定理3教学体会拉格朗日中值定理3.1采用启发性教学由于本节三个定理教材已经给出了详细的证明过程,因此教师在讲解过程中就不能照本宣科,而应启发学生发掘证明过程背后的实质.例如:用罗尔中值定理去证明拉格朗日中值定理,为什么要作辅助函数?辅助函数是怎样做出来的?又是怎么想到用罗尔中值定理来证明该定理的?针对这样的疑问教师可以采用以下顺序来引导启发学生.首先,让学生比较该定理与罗尔中值
5、定理在内容上的异同,特别是结论上的区别.罗尔中值定理结论是"至少存在一点∈(a,b)使得f,()=0",拉格朗日中值定理结论是"至少存在一点使得∈(a,b),使得f,():",从表面上看这两者没D—H有任何相同点.但仔细分析后就会发现罗尔中值定理结论的几何特点是存在开区间(a,b)内的点使收稿日期:2006—09—22作者简介:张珍珍(1979一),女,江西九江人,助教,理学学士,研究方向为应用数学.?11O?九江学院2007年第3期得函数所对应的曲线在该点有水平的切线,由于此时函数在区间端点处函数值相等,因而端点连线也是水平的,这样一来也就可以理解为
6、存在的'点处的切线平行于端点连线;而拉格朗日中值定理的结论的几何意义就是存在点'∈(a,b)使得函数所对应的曲线在'点的切线与函数端点连线平行.通过这样的分析找到两个定理的相同点从而启发学生明白了用罗尔中值定理证明此定理的原因.接下来在解释辅助函数的构造时可以启发学生利用数形结合的方法来思考:在满足罗尔中值定理的函数图形中将两端点连接起来可得到一条平行于X轴的直线,而在满足拉格朗日中值定理的函数图形中此直线很明显是不平行的,那么就要求我们利用辅助函数将其变成平行的.如下图所示),D图1利用数形结合的方法帮助学生思考CDlIAB,ACIlBD,则IACI
7、=IBDl即令F():f()一k,其中k:则F()IJ—a=IACI=IBDI=F(b),如此就很明确的将所要构造的辅助函数表示出来了.在分析讲解的过程中若能充分调动学生的主动性,不仅可以锻炼他们的逻辑思维能力更能增强他们解决问题的信心,在教学过程中起到事半功倍的效果.3.2采用综合分析教学由于许多学生习惯于采用从已知条件推导出待解结论的解题思路,但是在实际解题中一些题目的已知与结论之间关系并不太直接,往往需要在它们中间加入一些辅助工具才能明确这种因果关系.如果这时只分析已知条件而忽略对结论的分析,那么很难找到这些辅助工具,所以在教学中应多采用"综合分
8、析法".这是一种类似于初等数学中的综合法,它要求分析过程从待求结论人手,将结论作为已知条件去分
