拉格朗日中值定理教学设计

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1、拉格朗日中值定理教学设计教学设计第六章微分中值定理及其应用§1拉格朗日定理和函数的单调性题目：罗尔定理与拉格朗日定理一、教学目的：1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推论。2.能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。3.情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学

2、。二、教学重点与难点：1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的高。2.难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别与联系。三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法四、教学手段：板书与课件相结合五、教学基本流程：1六、教学情境设计（1学时）：1、知识回顾费马定理：设函数f(x)在x0的某领域内有定义，且在x0可导。若x0为f的极值点，则必有f(x0)??0。它的几何意义在于：若函数f(x)?在x?x0可导，那么在该点的切线平行于x轴。2、引出定理，探究

3、案例微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)若函数f满足如下条件：(i)f在闭区间?a,b?上连续；(ii)f在开区间?a,b?内可导；(iii)f?a??f?b?，则在?a,b?内至少存在一点?，使得f?????0.?1?罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)．2证

4、因为f在?a,b?上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况来讨论：(1)若m?M，则，f在?a,b?上必为常数，从而结论显然成立．(2)若m?M，则因f?a??f?b?，使得最大值M与最小值m至少有一个在?a,b?内某点?处取得，从而?是f的极值点．由条件(ii)，f在点?处可导，故由费马定理推知f?????0．注定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立(图6—2)。3例1设f为R上可导函数，证明：若方程f??x??0没有实根，则方程f?x??0至多有一个实根．证这可反证如下：倘若f?x

5、??0有两个实根x1和x2(设x1?x2)，则函数f在?x1,x2?上满足罗尔定理三个条件，从而存在???x1,x2?，使f?????0，这与f??x??0的假设相矛盾，命题得证．3、类比学习，理解定理定理6.2(拉格朗日(Lagrange)中值定理)若函数满足如下条件：?i?f在闭区间?a,b?上连续；?ii?f在开区间?a,b?内可导，则在?a,b?内至少存在一点?，使得f?b??f?a?f?????.?2?b?a显然，特别当f?a??f?b?时，本定理的结论(2)即为罗尔定理的结论(1)．这表明罗尔定理是拉

6、格朗日定理的一个特殊情形．证作辅助函数F?x??f?x??f?a??f?b??f?a??x?a?．b?a显然，且F在?a,b?上满足罗尔定理的另两个条件．故存在??(a,b),使F?a??f?b???0?，F?(?)?f?(?)?f(a)?f(b)?0b?a4移项后即得到所要证明的（2）式。拉格郎日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线y?f(x)上至少存在一点（如图6—3所示）。P(?,f(?))，该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB，定理的结论称为拉格朗日公式。4、升华、理解新知注解Note1.

7、定理的几何意义：在y?f(x)上至少存在一点P(?,f(?))，该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB。Note2.定理只论证了?的存在性，??(a,b)，不知道?的准确数值，但并不妨碍它的应用.Note3.拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a),a???b;（3）f(b)?f(a)?f?(a??(b?a))(b?a),o???1;（4）5f(a?h)?f(a)?f?(a??h)h,0???1;（5）值得注意的是，拉格朗日公式无论对于a?b，还是a?b都成立，而?则

8、是介于a与b之间的某一定数，而（4）、（5）两式的特点，在于把中值点?表示成了a??(b?a)，使得不论a,b为何值，?总可为小于1的某一正数。例题讲解例2证明对一切h??1,h?0成立不等式h?ln(1?h)?h1?h。证设f(x)?ln(1?x)，则ln(1?h)?ln(1?h)?ln1?h,0???1.1??h当h>0时，由0<?<1可推知1<