工科数学分析上学期复习.

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1、高等数学第一章函数、极限与连续第一节、函数1.1函数分类概念分类类型分类研究函数的主要问题：初等性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性。分析性质：极限、连续性、可微性、可积性1.2例题（仅限于对应）引例，求解例1，求。解59例2，且，求，并写出定义域。解，。例3设满足，其中均为常数，且，求的表达式。解，消掉得。小结：上述四例均强调或说体现“对应”，即自变量在抽象函数中的位置与具体函数中的位置相对应。抓住“对应”一点。函数问题基本解决。其他问题从略（本类题考率三年一次）。1.3习题1．设，则1。2．设，则（D）（A）（B）（C）（D）3．设，则（B）（A）0（B）1（C）（

2、D）。4．是（D）59（A）有界函数（B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数1．设连续，则下列函数中为偶函数的是（D）。（A）（B）（C）（D）6．设，求。7．设若，求。第二节极限2.1内容总结1．基本型：型，2．等价代换当时，，，3．重要极限（）其他极限不存在例：4．用泰勒公式求极限5．用夹逼定理和单调有界原理求极限（主要用于数列极限问题）2.2例题基础题目一、（型）；59二、（型）；三、（等价代换）1．；2．（）3．（注意的处理。，。）4．5．求原式6．求59四、幂指1．2．求3．求五、泰勒公式（注对泰勒公式只需熟悉展开式）六、夹逼定理与单调有界591[]表示取整函

3、数解1当时，，，故当时，，，故从而解2，表示小数部分2．对于数列，已知，，证明。证：由归纳法易证，，又，即当时有下界同时，即单减，从而收敛。设，对递推式取极限得，解得，（舍）。注：为两点递推式，写成连续型函数，若，则为单调数列，若，则不是单调的，据此可以调整证明目标。3．求____594．设，（）证明极限存在并求极限证明，假设，则，即数列单调增加，，假设，则，故由单调有界原理存在，设，则，得即=25.已知，，。（1）证明数列数列收敛；（2）求的极限值。解（1），由此可见，设，，，由知，收敛，令，；其中，由，有（1）由，有由（1）-（2）得，解得知收敛，且极限是专题训练类

4、题目一、重要极限与幂指型极限例159例2例3二、等价代换例1例2例3三、反问题例1，求值59解原式，故。例2，求。解原式，由此，有回代原式例3已知，求常数。由原式有，即由罗比塔法则有，由分母极限为零，有再由罗比塔法则有，由分母极限为零，有，因此例4，求常数。解当时，分子，又，故分母，又，故积分极限为零，故b=0，59，从而a=1,例5，求。解当时，，故，则从而，由此。例6．2.3练习59三、连续函数1．定义：，称在点连续。（本质上）2、问题分类1）讨论函数的连续性2）指出函数间断点，且分类3）介值定理应用4）连续性应用（）3、例题例1讨论的连续性。解当时，考查三点；（除

5、以上三点外，函数连续）；，为第一类间断点；是第一类间断点（可去间断）同法；，是第一类间断点。例2设，讨论的间断点及其类型。59解在点，为可去间断点。在点不存在，为第二类间断点（无穷间断点）。例3设在点连续，求与的关系。解，，于点连续，则。例4．59例5．例6．59例7证明，恰有三个实根证令，则于上连续，而，，，由零点存在定理，，，使即方程有三个实根，又三次方程至多有三个实根，故恰有三实根。方程有根问题当与微分学结合时会很精彩。例8设在上连续，且对都使，证明在上。证：在上连续。则有界，即，使。又，使，故又使，同理，使令，则有。例9设在上连续，且，证明，使。59证设，假设，

6、则，，相加，与矛盾，即恒大于0，不可能。同理（恒）也不可能，即必有大于0的点，也有小于0的点，由连续性和介值定理，，使，即。第二章一元函数微分学及其应用2.1导数概念的三类问题一、“分析”形式问题例1在处可导，求。解原式59例2在处可导，，。求。解原式。例3设在点可导，且，求。分析：例4设有连续导数，且，求。分析：原式例5设是周期为5的连续函数，且于的某邻域内满足……（*）其中是当时比高阶无穷小量，且于处可导，求曲线于点的切线方程。分析：由(*)式，令（凑定义）：令，，。切线方程：，。例6．例7．59例8．例9．例10．例11．例12．、例13。练习59二、“隐式”导数

7、问题例1在点连续，且，求。解，由分母，则（连续）则例2设曲线在原点与相切，试求极限。解在点两曲线相切，，。练习已知曲线在原点与相切，求（）例3例459三、导数物理解释问题（速度，变化率）（相关变化率）例1有一底半径为Rcm，高为h的锥形容器，现以Acm/s的速率向容器内注水，试求当容器内水位上升到时，水面上升的速率和液面面积的变化率。解设坐标系如图令，则；令，则。注：体会物理解释，“以速率注水”，“水面上升速度““面积变化率“例2一动点P在曲线上运动。已知P点横坐标的速率位30cm/s。当P点运动到点时，从原点到P点的距离的变化率是多少？