高中数学必修1集合与函数概念常考题型：函数的最大（小）值

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1、函数的最大(小)值【知识梳理】1．最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．2．最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值．【常考题型】题型一、图象法求函数的最值【例1】　(1)函数f(x)在区间[－2,5]上的图象如图

2、所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)A．－2，f(2)B．2，f(2)C．－2，f(5)D．2，f(5)(2)求函数f(x)＝的最值．(1)[解析]　由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5)．[答案]　C(2)[解]　函数f(x)的图象如图由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝1.无最大值．【类题通法】用图象法求最值的一般步骤【对点训练】作出函数y＝

3、x－2

4、(x＋1)的图象，说明函数的单调性，并判断是否存在最大值和最小值．解：当x≥2，即x－2≥0时，y＝(x－2)(

5、x＋1)＝x2－x－2＝(x－)2－；当x<2，即x－2<0时，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－(x－)2＋.所以y＝画出该分段函数的图象，如图．由图象可知，函数y＝

6、x－2

7、(x＋1)在(－∞，]，[2，＋∞)上是增函数；在[，2]上是减函数．观察函数图象，可知函数不存在最大值，也不存在最小值.题型二、利用单调性求函数的最值【例2】　已知函数f(x)＝x＋.(1)证明：f(x)在(1，＋∞)内是增函数；(2)求f(x)在[2,4]上的最值．[解]　(1)证明：设任意两个x1，x2∈(1，＋∞)

8、，并且x1x1>1，∴x1－x2<0，又∵x1x2>1，∴x1x2－1>0，故(x1－x2)·<0，即f(x1)

9、上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)．(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)．(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．【对点训练】在题设条件不变的情况下，求f(x)在[，2]上的最值．解：设x1x2∈[，1]，并且x1f(x2)，

10、即f(x)在[，1]上是减函数．结合例题可知，函数f(x)在[，1]上单调递减，在(1,2)上单调递增．∴当x＝1时，f(x)取得最小值f(1)＝2；又f()＝＋3＝>f(2)＝，∴f(x)在[，2]上的最大值为，最小值为2.题型三、函数最值的应用【例3】　某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润

11、)[解]　(1)设月产量为x台，则总成本为20000＋100x，从而f(x)＝(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25000，∴当x＝300时，[f(x)]max＝25000.当x>400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)<60000－100×400<25000.∴当x＝300时，[f(x)]max＝25000.即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25000元．【类题通法】解决函数最值应用题的方法(1)解决实际问题，首先要理解题意，然后建立数学模型转化成数学问题解

12、决．(2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键．【对点训练】商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方案：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？解：设销售价为x元/瓶(3≤x≤4)，则根据题意(销售量等于进货量