导数在高中数学中的若干应用

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1、导数在高中数学中的若干应用导数是沟通曲线、函数、不等式、方程和数列等核心概念之间的重要桥梁，是初等数学与高等数学的关键衔接点.导数普遍适用于判断曲线的单调性、凹凸性，求函数的极值、拐点、最值，还可以用来求函数解析式、比较大小、求数列和、求参数取值范围、处理优化问题、处理函数图像的切线问题、处理含参数的恒成立不等式问题等.在近几年高考中，关于导数的试题模式灵活多变，比较注重分析能力和思维能力的考查.因此，在高中数学中掌握导数的各种应用是至关重要的.一、求曲线上某点的切线方程求切线方程是解决曲线切线问题的基础，因此我们必须准确理解导数的几何意义，并牢固掌握求导法则.求曲线上某点的切

2、线方程又可以分两类：⑴此点为切点，这就意味着不用再求出切点，可以直接求切线方程了；⑵求过某点的切线方程，点在曲线上，这类问题就要求我们注意了，此点是否为切点还要我们验证才知道，如果我们一开始就认定此点为切点，那就很容易出错了.此点为切点的题目我们见得多了，但也很可能出现在曲线上的点却不是切点，这就要求我们先判断再解题了.例1.曲线上点，求过点的切线方程.8分析：点在已知曲线上，本题要求的是过点的切线方程，但点不一定是切点，故我们解题时要先求出切点坐标.解设切点坐标为，则，则处的切线方程是.该切线过点，化简得：，解得：或，过点的切线的斜率是或，过点的切线方程为：或.即所求的切线方

3、程是：或.评注：我们做这类题型时往往会把点作为唯一一个切点，这样的话我们就只求出点处的切线，而漏解另外一条切线.从本题求解过程我们不难悟出求切点坐标的方法，这很重要，要记住.应用导数求切线方程的一般步骤：（1）设切点.（2）求.（3）写出切线方程：.2.在解析几何中求最值8在解析几何中的最值问题一般是求两条曲线之间的最短距离，在高考中常出现的类型是求一条抛物线（或双曲线）到一条直线的最短距离，这类题的解题步骤一般为：先求出与直线平行的抛物线（或双曲线）的切线的切点坐标，然后由点到线的距离公式得出所求的距离.例2求抛物线的点到直线的最短距离.解设与直线平行的抛物线的切线的切点坐标

4、为，则，，因此，切点坐标为，切点到直线的距离为，且.所以抛物线上点到直线的最短距离为.评注：求抛物线上的点到直线的最短距离，应先求出与直线平行的抛物线的切线的切点坐标，再求出该切点到直线的距离就是所求的最短距离了.3.求函数的解析式例3.已知函数的图像过点，且不等式对于一切实数都成立，求的解析式.分析：由所给不等式的几何意义知，抛物线夹在直线与抛物线之间，而直线与抛物线只有唯一公共点，故知直线与抛物线、相切于同一个点，此为解题的关键.解的图像过点，①，则②8由①、②解得：，则有.则有.设、、，我们可以知道的图像夹在与之间，又与的图像有且只有一个公共点，故直线与抛物线、切于同一点

5、.而，即，，.所以所求函数为：.评注：函数的解析式往往要结合该函数的图像特点来解决，而应用导数来解函数的解析式也可以使问题简化.上面的例题用函数的图像特点可以解出、的值，而要解出值就要对所求函数进行求导，再把切点的坐标代入就可以求出值了，进而可以求出函数的解析式.4.解与函数图像特征有关的问题例4.设函数的图像为，函数的图像为，已知在与的一个交点的切线相互垂直.（1）求，之间的关系；（2）若，，求的最大值.解（1）对于：，有对于：，有设与的一个交点为.8由题意知过交点的两条切线互相垂直，，即①又点在与上，故有，所以②由①、②消去，可得（2）由于，且当且仅当时取等号，故的最大值为

6、.评注：本题以函数图像为背景考查导数的几何意义和语言转化能力，而应用导数的几何意义是解决这类问题的关键.不管是求函数的解析式还是解与函数图像特征有关的问题，这往往要观察函数图像的特征，结合导数的几何意义解题，这样会使解题过程变得简便.5.求含参数的函数的单调性有时在求函数的单调性时，常常搭配几个参数来增加题目的难度，像这类型的题通常需要对参数经分类讨论求函数的单调性.例5.已知，求函数的单调区间.解（1）当时若，则；若，则，8所以当时，函数在区间内为减函数，函数在区间内为增函数.（2）当时由，解得或，由，解得，所以，当时，函数在区间内为增函数，在区间内为减函数.（3）当时由，解

7、得由，解得或，所以当时，函数在区间内为增函数，函数在区间内为减函数.评注：不管是求不含参数的函数的单调性还是求含参数的单调性，都要先对所求函数进行求导，通过对所求导数的大于零（或小于零）的值来判断所求函数的单调性，而在求含参数的函数的单调性时就要对参数进行分类讨论后再判断.6.求函数极值例6.求函数的极值.解，令，解得，，，当变化时，，的变化情况如下表:8所以，当时，有极大值，，当时，有极小值，.评注：求函数的最值重要的是先求出的值，然后根据在定义域中的变化，、随着的变化情况再判断函数的极大