不等式与推理与证明

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1、专题9、不等式与推理与证明一、主要知识网络不等式的概念和性质不等式的证明不等式的解法不等式的应用推理合情推理演绎推理归纳类比证明直接证明间接证明综合法分析法反证法数学归纳法（理科）二、内容及方法解析1、要注意不等式的性质的单项性与双向性，也就是每条性质是否具有可逆性。在应用性质时，一定要准确把握条件是结论的充要条件还是充分条件。2、在学习不等式的解法时，应掌握各类不等式的特点，同解不等式的特殊性，并认真归纳出各类不等式的常规解法和思路。这部分在高考中经常出现，因此是重点内容。解各类不等式都有其“通法”，也有“巧法”，且不可偏爱“巧法”而忽视“通法”，

2、否则将本末倒置。3、线性规划是直线方程在解决实际问题中的应用，常通过二元一次不等式表示的平面区域来确定实际问题的解，应用极为广泛。常用的数学思想方法是数形结合。4、能够利用基本不等式求函数的最值，能够熟练运用变形过程中的一些常用技巧，能够运用配方思想、函数思想、分类讨论思想。5、不等式作为一种工具常与函数与方程结合在一起，来研究函数与方程的有关题目，再就是利用函数和方程的理论研究不等式，如根的分布问题、恒成立问题、解析几何中的变量范围问题等都是高考的命题的重点内容，往往在高考中以综合题的形式出现。1、通过已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分

3、析方法，认识归纳推理和类比推理这两种推理的基本方法。体会演绎推理在实际证明中的应用价值和证明的一般过程。2、数学归纳法具有猜想归纳培养探索问题的能力，所以成为高考的重点，应引起足够的重视。此类问题分为归纳型问题和存在性问题，需要从特殊情况下手，通过观察、分析、归纳、猜想探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想。三、重要考点高考试题回顾与命题展望考点1不等式不等式的应用在高考中主要体现在两个方面一是解决数学问题，如解析几何中直线与圆锥曲线交点问题，方程的解的个数问题，函数的定义域、值域等，考查的可能性比较大。二是解决实际问题，应用题在近几年高考中出现的不

4、多，随着新教材的使用趋于稳定，考查的可能性也在增加。高考题1（2007年安徽）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．解析：若x>0时，a≤1。若x<0时，a≥1。若x＝0，恒成立。所以选B。知识方法探究：求解不等式恒成立问题时，通常转化为求函数的最值问题。必要的时候进行分类讨论。但是对分类标准的把握又是一个重点。高考题2：如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（）A．B．C．D．解析：画出点P的平面区域后，应用两点的距离公式求解。答案A。知识方法探究：线性规划问题时高考的热点之一，考查时可以求最优解、最值等，通常画图，

5、用数形结合的思想方法解题题目多为选择题、填空题，为容易题或中档题，多数情况下可用特殊位置法解题。高考题3：（04年重庆理22）设数列满足（Ⅰ）证明：对一切正整数成立；（Ⅱ）令判断与的大小，并说明理由.解析：（Ⅰ）证法一：①当时，不等式成立，②假设时，成立当时，时，成立由①②可知，对一切正整数成立.证法二：由递推公式可得…上述各式相加并化简得又时，成立，故（Ⅱ）解法一：故解法二：故.因此知识方法探究:本题是考查数列与不等式的综合题,运用数学归纳法证明递推数列的不等关系,考查不等式证明的基本方法:比较法、放缩法.高考题4：（06年浙江理16）设使,，求证

6、：(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.解析：(Ⅰ)因为,所以又,消去,得,由消去,得所以(Ⅱ)抛物线的顶点坐标为又两边乘以得,又而所以方程在区间与内分别有一实根,即方程在有两个实根.知识方法探究：本题考查了不等式的基本性质以及不等式的证明方法。第二问考查了函数与方程的思想以及零点分布的判断方法。考点2推理与证明推理在高考中主要考查归纳推理与演绎推理，主要应先由已知条件归纳出一个结论，并加以证明或以推理作为题目的已知条件给出猜测的结论，并要求考生会应用或加以证明。高考题1（2006江西）已知数列满足:.(1)求数

7、列{an}的通项公式;(2)证明:对一切正整数n,不等式a1.a2.……an<2.n!恒成立.解析：(1)将条件变为:,,因此,为一个等比数列.其首项为,公比为,从而据此得.（2）证:据①得为证只要证时有.…………②显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对每个n∈N*…………③用数学归纳法证明③式：10当n=1时，显然③式成立，20设时，③式成立即记此式为f(k)≥g(k)……④则当n=k+1时，只需证即代④知只需证：f(k)≤1.此式显然成立。∴n=k+1时,不等式成立。由归纳原理知，不等式对任意正整数n都成立。知识方法探究：题（1）对递推公式变形后

8、,整体代换把看成一个数列,处理得好.若用“猜想+证明”的方法求通项公式，就有点难。高考模拟题1：试证：-＜-