不等式与推理证明重点直击

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1、不等式与推理证明重点直击　　在高考中，不等式与推理证明是密不可分的，前者考查知识点，后者考查方法的灵活应用.不等式与推理证明内容丰富，涉及考题变化万千.在复习这一内容时，只有抓住重点方可事半功倍，以下重点内容值得同学们特别关注.　　一、一元二次不等式恒成立问题　　要点解析　　一元二次不等式恒成立的条件：　　（1）不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立a=b=0，c>0，或a>0，Δ<0.　　（2）不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立a=b=0，c<0，或a<0，Δ<0.　　一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要

2、注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.　　题型分析　　1.形如f（x）≥0（x∈R）确定参数的范围　　例1已知不等式mx2-2x-m+1<0，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.12　　解析：不等式mx2-2x-m+1<0恒成立，　　即函数f（x）=mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.　　当m=0时，1-2x12，不满足题意；　　当m≠0时，函数f（x）=mx2-2x-m+1为二次函数，　　需

3、满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解，　　即m<0，Δ=4-4m（1-m）<0，　　不等式组的解集为空集，即m无解.　　综上可知不存在这样的m.　　2.形如f（x）≥0（x∈[a，b]）确定参数范围　　例2设函数f（x）=mx2-mx-1（m≠0），若对于x∈[1，3]，f（x）<-m+5恒成立，求m的取值范围.　　解析：要使f（x）<-m+5在[1，3]上恒成立，　　则mx2-mx+m-6<0，即m（x-12）2+34m-6<0在x∈[1，3]上恒成立.　　有以下两种方法：　　法一：令g（x）=m（x-12）2+34m-6，x∈[1，3].　　当m>0时，

4、g（x）在[1，3]上是增函数，　　所以g（x）max=g（3）=7m-6<0.所以m<67，则00，12　　又因为m（x2-x+1）-6<0，　　所以m<6x2-x+1.　　因为函数y=6x2-x+1=6（x-12）2+34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m<67即可.　　因为m≠0，所以m的取值范围是（-∞，0）∪（0，6

5、7）.　　3.形如f（x）≥0（参数m∈[a，b]）确定x的范围　　例3对任意m∈[-1，1]，函数f（x）=x2+（m-4）x+4-2m的值恒大于零，求x的取值范围.　　解析：由f（x）=x2+（m-4）x+4-2m　　=（x-2）m+x2-4x+4，　　令g（m）=（x-2）m+x2-4x+4.　　由题意知在[-1，1]上，g（m）的值恒大于零，　　∴g（-1）=（x-2）×（-1）+x2-4x+4>0，g（1）=（x-2）+x2-4x+4>0，　　解得x3.　　故当x3时，对任意的m∈[-1，1]，函数f（x）的值恒大于零.　　类题通法：　　（1）解决恒成立问题

6、一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.　　（2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.12　　二、线性规划问题　　要点解析　　求目标函数的最值要明确几个概念：　　（1）约束条件：由变量x，y组成的不等式（组）；　　（2）线性约束条件：由关于x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式（组）；　　（3）目标函数：关于x，y的函数解析式，如z=2x+3y等；　　（4）可行解：满足线性约束条件的解（x，y）；　　（

7、5）最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解.　　线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.　　题型分析　　1.求线性目标函数的最值　　例4设x，y满足约束条件x+y-7≤0，x-3y+1≤0，3x-y-5≥0，则z=2x-y的最大值为.　　解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由z=2x-y得y=2x-z，作出直线y=2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A（5，2）时，对应的z值最大.故zmax=2