第6章不等式、推理与证明5第5讲分层演练直击高考含解析

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1、分层演练▲直击高考■「以练促学•强接提釣基础达桩,1.(2018-扬州质检)用反证法证明命题“a,Z?eR,必可以被5整除，那么a,b中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是.解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故应假设方中没有一个能被5整除”.答案：a,b中没有一个能被5整除2.设0=萌一也，b=&—逅,。=羽一石，则°、b、c的大小顺序是.解析：因为Y十崗7十忒肩c=浙-甫=詁书,且羽+&>&+书>筋+迈>0,所以ci>b>c.答案：a>h>c3.己知点An(n,a”)为函数y=yjx2+l图象上的点，5"，仇)为函数y=x图象上的点,其屮“WN*,设

2、cn=cin—bn,则c”与c“+i的大小关系为•解析：由条件得c“=g”一•仇=#/+[_n=yF；]+,所以cn随n的增大而减小，所以c„+]

3、：①a2+b2+c2^ab+bc+ca；②a(l—a)W*③^+#22；④(/+员)•(c2+/)$(ac+bd)2,其中不成立的不等式有个•解析：利用综合法可证①②④成立，若a=lf/?=-1,彳+号=一2,则③不成立.答案：16.设a,b是两个实数，给出下列条件：①a+b>；②a+b=2；③a+b>2；@a2+b2>厶⑤ab>.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件的序号是.解析:2b=],则a+b>9但Xi,b<,故①推不出；若a=b=1,则a+h=2f故②推不出；若°=一2,b=-3,则於+沪>2,故④推不出；若6/=-2,b=—3,则ab>

4、f故⑤推不出；对于③，即a+b>2t则a,b中至少有一个大于1,反证法：假设gWI且bWl,则d+bW2与a+b>2矛盾，因此假设不成立，d,b中至少有一个大于1.答案：③5.己知函数夬兀)=(£),a,b是正实数，人=7&$),B=fiy［ab)fC住则久B、C的大小关系为.解析：因为黑牛，又几兀)=(*)在R上是减函数.所以(号弓W/h殛)，即AWBWC.答案：AWBWC&在R上定义运算:x~1=ad—bc.若不等式

5、a+121对任意实数兀恒成立,则实数a的最大值为.解析：据已知定义可得不等式^-x~cr+a+130恒成立，故/=1一4(一/+°+i)wo,1

6、33解得一詐0,故a的最大值为亏.9・若二次函数J(x)=4x1-2(p-2)x-2p2-p+1在区间［-1,1］内至少存在一点c,使.心)>0,则实数"的取值范闱是•解析：法一：(补集法)f(-1)=-2p2+p+1^0,1/(1)=一2尸一3p+9W0,3解得pW_3或故满足条件的°的取值范围为(一3,法二：(直接法)依题意有人一1)〉0或人1)>0,即2jT—p—1<0或2/?2+3p—9<0,10.设册=—3,fl^-1Y

7、-1Y

8、-1且a+b+c=(a.b、。均为正数)，则M的取值范围解析：因为a+b+c=i9,,1-a+b+c.b+c^2y[bc厂所

9、以一一1=—1=2—,①aaaaJ同%—u十十②丄十氓迈，③①心心,即卜鴨一疋―卜8^W_0abc8ccc当且仅当ci=b=c=］时取等号.答案：［8,+°°)11.求证：a,b,c为正实数的充要条件是d+b+c>0,且ab+hc+ca>0和abc>0.证明：必要性(直接证法)：因为a,b,c为正实数，所以a+b+c>0fab+bc+ca>0fabc>0f因此必要性成立.充分性(反证法)：假设°,b,c是不全为正的实数，由于abc>Qf则它们只能是两负一正，不妨设gV(),bVO,c>0.又因为ab+bc+ca>0,所以a(b+c)+bc>0,且bcVO,所以d@+

10、c)>0.①又因为6/<0,所以b+c<0.所以ci+b+cQ相矛盾.故假设不成立，原结论成立，即a,bfc均为正实数.12.设｛如是公比为q(qHO)的等比数列，S”是它的前/?项和.(1)求证：数列｛S”｝不是等比数列；（2）数列｛S〃｝是等差数列吗？为什么？解：（1）证明：若｛S“｝是等比数列，则£=S

11、・S3,即df（l+g）2=ai•a（+q+q2）f因为所以（l+q）2=l+g+『，解得q=0,这与qHO相矛盾，故数列｛S“｝不是等比数列.（2）当g=l时，｛S〃｝是等差数列.当qHl时，｛S“｝不是等差数列.假设gHl时，