三角变换常用的方法和技巧

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1、三角函数中三角变换常用的方法和技巧一、角的变换当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”、“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果．例1　函数的最小值等于（　　）．（A）　　（B）　　（C）　　（D）解析：注意到题中所涉及的两个角的关系：，所以将函数的表达式转化为，故的最小值为．故选（C）．评注：常见的角的变换有：，，，，，．只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察，往往会发现角之间的关系．例2、已知均是锐角，求。解：小结：本题根据问题的条件和结论进行的变换。例3、已知cos(,sin(

2、-)=,且求分析：观察已知角和所求角，可作出的配凑角变换，然后利用余弦的差角公式求角。解：例4、已知求证：分析：由角的特点，因已知条件所含角是所证等式含角所以以角为突破口。证明：小结：抓住题设与结论中角的差异，利用角的和，差，倍等关系，变不同的角为同角，在三角变换中角的变换很重要。二、函数名称变换三角函数包括六种形式，因此，对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入手，寻求统一函数名称的变换途径，正确选用三角变换公式，通过变换尽量减少三角函数的种类，可以使问题得到快速的解决．例1、若sin（α+β）=,sin（α—β）＝，求解：由

3、sin=（α+β）=,sin（α—β）＝得∴＝＝例2、当时，函数的最小值是（　）．（A）　　（B）（C）　　（D）解析：注意到函数的表达式的分子与分母是关于与的齐二次式，所以，分子与分母同时除以转化为关于的函数进行求解．因为，所以，所以．故选（A）．评注：切、割化弦，弦化切是解答三角问题中对函数名称进行转化的最常见、最基本的两种方法：（1）若所给的三角式中出现了“切、割函数”，则可利用同角三角函数基本关系将“切、割函数”化为“弦函数”进行求解、证明；（2）若所给的三角式中出现了“弦函数”与“切函数”，有时可以利用公式将“弦函数”化为“切函数”进行解

4、答．例3、化简：解：原式例4、已知，求的值。解：∵，∴点评：在求值、化简、恒等式证明中，切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧。三、升幂与降幂变换分析三角函数中的次数，是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题中的要求，正确选用半角公式或倍角公式等三角公式，达到次数的统一．例1、　已知为第二象限角，且，求的值．分析：由于已知条件中知道的值，而所求三角函数式中所涉及的角是与有关的复角，因此可利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形获得解答．解：原式当为第二象限角，且时，，，所以．评注：解答本题的关键是将含有二倍角的一次式转化为二次

5、式，消去常数1．例2、求值：解：原式：＝＝==＝＝注：怎样处理sin320°和是本题的难点，解决的方法是“降幂”和“常数变换法”。四、常数变换例1、已知，求的值．分析：由已知易求得的值，而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正、余弦函数且各式都为二次式，而分子是常数1，可将1化为，再利用同角三角函数基本关系将所求式转化为正切函数进行求解．解：由，得，于是原式．评注：对于题中所给三角式中的常数（如：等），比照特殊角的三角函数值，将它们化为相应的三角函数，参与其它三角函数的运算，在解题中往往起着十分奇妙的作用．例2、求值（—）·解：∵—＝＝＝＝＝＝32

6、cos20o∴原式＝32五、消参变换当题设或结论中含有参数时，我们可以采用消去参数法来解决．例1、已知，且，．求证：．分析：由于已知和结论中都含有参数，所以我们可以把已知变形，求出，代入化简，即可证得等式成立．评注：在解答含有参数的等式证明问题时，我们往往可以采用这种办法．本例并未给出证明过程，同学们可试着自己完成．六、变换公式的方法使用任何一个公式都要注意它的逆向变幻，多向变幻，这是灵活，深刻地使用公式所必须的，尤其是三角公式众多，把这些公式变活，显得更加重要。三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用。如cosα＝，tanα

7、±tanβ＝tan（α＋β）（1tanαtanβ）等。例1：求值：解：先看角，都是12°；再看“名”，需将切割化为弦，最后在化简过程中再看变换。原式＝（切、割化为弦）==(逆用二倍角)=（常数变换）=（逆用差角公式）＝＝－４（逆用二倍角公式）注：要养成逆用公式的意识，熟悉教材给出的三角基本公式的同时，如果我们熟悉其他变通形式常可以开拓解题思路。例2、求的值。解：原式=小结：对于两个角的正切的三角函数的和与积的形式的求值问题，通常利用的变形式例3、求的值。又例4、若αβ为锐角且满足sinα—sinβ=—，cosα—cosβ=，求tan（α—β）的值。

8、解：由题中条件把两等式平方相加得sin2α—2sinαsinβ+sin2β＋cos2α—2cosαcosβ+cos2β=即